Eigene Beweise finden

In Videos wurde gezeigt, wie man die erste binomische Formel beweisen kann. Dabei wurden zwei Wege gezeigt: der ikonische Beweis (mit Hilfe von Bildern) und der symbolische Beweis (mit Hilfe von Formeln und algebraischen Umformungen). Doch wie steht es um die zweite und dritte binomische Formel? Und was ist mit dem Rechentrick aus der Einstiegs-Meditation? Kannst du sie beweisen?

Bearbeite die folgenden Aufgaben. (Wenn du magst, kannst du die Aufgabenblätter hierfür auch ausdrucken.) Deine Lösungsideen, Ansätze und Fragen darfst und sollst du gerne mit den anderen MOOC-Teilnehmerinnen und MOOC-Teilnehmern diskutieren! Hierfür steht dir das Kommentarfeld am Ende der Seite zur Verfügung. Es ist natürlich umständlich, dort mathematische Formeln und Skizzen einzugeben. Daher kannst du auch einfach deine Lösungen auf Papier abfotografieren und als Bild hochladen! Oder zu zeichnest gleich online mit Geogebra!

Beweise die binomischen Formeln!

Beweise die binomischen Formeln!

Rechentricks finden und beweisen

Rechentricks finden und beweisen

26 thoughts on “Eigene Beweise finden

  1. diabolix17

    Ok, hier mein Beweis für den Rechentrick aus der Einstiegs-Meditation:
    Ich übersetze alle beschriebenen Schritte erstmal in mathematische Form.
    x sei die zu quadrierende Zahl.
    1. Die 5 wird abgespalten: Von x wird also zum einen 5 abgezogen, x – 5. Zum anderen fällt die gesamte Stelle weg. Und weil unser Stellenwertsystem die Basis 10 verwendet (ja, ich hab die Videoreihe dazu geguckt :D), wird das ganze durch 10 geteilt. Bisher also: (x – 5) / 10.
    2. Die Zahl wird mit „sich selbst + 1“ multipliziert. x * (x + 1), nach Anwendung des Distributivgesetzes: x² + x
    3. Es wird hinten 25 drangehängt. Formal: x * 100 + 25
    Ich fasse zusammen: ( ( (x – 5) / 10)² + (x – 5) / 10) * 100 + 25
    Ich forme um:
    ( (x – 5) / 10)² = (x – 5)² / 100
    (x – 5)² = x² – 10x + 25 (2. binomische Formel)
    Insgesamt jetzt also:
    ( (x² – 10x + 25) / 100 + (x – 5) / 10) * 100 + 25
    Ich erweitere dann den Bruch (x – 5) / 10 auf den Nenner 100, damit ich ihn zum ersten Bruch addieren kann. Da kommt dann raus: (10x – 50) / 100.
    Das Ergebnis der Addition lautet: x² – 25 / 100
    Gesamte Gleichung: (x² – 25 / 100) * 100 + 25
    => x² – 25 + 25 => x²

    Das war jetzt wahrscheinlich viel viel viel zu kompliziert, aber ich bin trotzdem ein bisschen stolz ;D

    PS: Eine ungeklärte Sache wäre da noch. Wo genau in diesem Beweis auftaucht, dass es nur Zahlen sein können, die mit 5 enden. Ich habe den Ansatz, dass das Ergebnis vom ersten Schritt sonst keine ganze Zahl ist. Von da aus bin ich aber nicht weitergekommen. Vielleicht kann mir ja einer weiterhelfen.

    • cspannagel Post author

      Ja…. da kannst du auch stolz sein! 🙂 An alle anderen: was haltet ihr vom Beweis des diabolix? Weshalb spielt hier die 5 eine wichtige Rolle? Was müsste passieren, wenn die letzte Stelle keine 5 ist? Kann man hier einen ähnlichen Trick erfinden (unter bestimmten Bedingungen)?

      • Robin10

        Hallo!
        Ich habe eine Idee, wie man auch zum Ziel kommen kann, falls die letzte Stelle nicht die 5 ist (gewisse Kopfrechenfertigkeiten vorausgesetzt). Dabei muss aber davon ausgegangen werden, dass 1. und 2. binomische Formel bekannt sind.
        Wenn die letzte Stelle nicht die 5 ist, machen wir sie einfach zu einer 5, indem subtrahiert bzw. addiert wird, was uns zu den binomischen Formeln führt.
        Einfaches Beispiel: 26² = (25+1)² = 25² + 2*25*1 + 1²
        Wir sehen hier also die auf 5 endende Zahl 25, die wir nach dem oben gezeigtem Trick recht einfach quadrieren können.
        Wir erhalten insgesamt dann: 26² = 625 + 50 + 1 = 676.
        Anderes Beispiel: 81² = (85-4)² = 85² – 2*85*4 – 4² = 7225 – 2*85*4 + 4²
        = 7225 – 680 + 16 = 6561.
        Oder etwas allgemeiner:
        Sei x eine beliebige natürliche Zahl.
        Zunächst überprüfen wir, ob x auf 0 endet, indem wir x mod 10 rechnen. Falls x mod 10 = 0, wissen wir: x endet auf 0. Demnach können x umschreiben:
        x = (x+5)-5 bzw. (x-5)+5. Quadriert ((x-5)+5)² [Erinnerung bin. Formel:
        a = (x-5), b = 5] und dann wird weiter gerechnet…
        Ist x mod 10 != 0, muss man sich den Rest merken, denn so kann man umgehen, dass man a als eine durch 10 teilbare Zahl wählt.
        Beispiel: 89 mod 10 = 9. 89 endet also, was bei so überschaubaren Zahlen offensichtlich ist, auf 9. Nun könnte man auf die Idee kommen, 89 als 90 – 1 [a-b] zu schreiben. Dürfen wir ja aber nicht, denn die Zahl a soll ja auf 5 enden. Weiß man also, dass 89 mod 10 = 9, schreiben wir 89 = (85+4). So ist die Bedingung wieder erfüllt.
        Anmerkung: Es macht vielleicht wenig Sinn, das Ganze für nicht ganz so überschaubare Zahlen zu machen (wofür die modulo Rechnungen in diesem Fall dienen), weil auch dann das Kopfrechnen nicht ausreichen wird, aber ich denke, das ergänzt es recht gut.

        LG
        Robin

          • Robin10

            Hm… das einzige, was mir spontan einfällt, ist Faktorisieren. Das ist ja aber auch wieder nur in einem gewissen Maß im Kopf durchführbar. Hat man einen Zettel zur Hand, kann man besser arbeiten. Endet eine Zahl auf 0, so zerlegt man sie erstmal in die Faktoren 10 und den Rest der Zahl. Man rechnet also quasi (x/10)*10, sodass man aufgrund von (ab)² = a² * b² etwas einfacher quadrieren kann. Bspw.: 110² = (11 * 10)² = 11² * 10² = 12100. Ich bin aber der Meinung, dass man das ohnehin automatisch macht. Ich denke deshalb nicht, dass Sie das meinen 😉 Man könnte das allerdings mit der von mir oben beschriebenen Methode verbinden, sodass es doch möglich ist, Zahlen wie bspw. 860 im Kopf/ mit Stift und Papier zu quadrieren.
            Naja… ich überlege mal weiter, vllt fällt mir noch etwas besseres ein.

  2. AndyP

    diabolix Beweis ist schon recht gut, finde ich. Was ich anmerken würde:
    1)
    In Schritt eins und zwei wird die Variable x benutzt, obwohl sie in den Schritten verschiedene Zhalen repräsentiert.

    2) Wenn nicht vor dem Beweis/ am Anfang festgelegt wird, das x auf die Ziffer 5 endet, ergibt die Division durch 10 im ersten Schritt nicht immer eine natürliche Zahl.

    Hier mal ein kleines Video, wie ich den Beweis führen würde (wichtig: erst selbst über den Beweis nachdenken und dann Video ansehen, sonst ist es schwerer deine eigene Kreativität zu benutzen):

    http://www.youtube.com/watch?v=vnczzlIVYz0

    Über Anmerkungen und Verbesserungen würde ich mich freuen 🙂

    • cspannagel Post author

      @AndyP Das ist ja wirklich großartig, dass du schon einen Screencasts hier eingestellt hast!

      Wer kann seinen Beweis auch als Screencast den anderen zur Verfügung stellen? Oder wer mag seine handschriftlichen Notizen fotografieren und hier als Bild hochladen?

    • Robin10

      Hallo Andy!
      Tolles Video 🙂
      Kurze Anmerkung dazu: Stopp mal das Video bspw. bei 3:45 und stelle dann mal x=5(2y+1) nach y um und vergleiche mit deinem Ausdruck für z. Fällt dir was auf? 🙂
      Du hast außerdem sehr schön aufgeschrieben (ca. Minute 5), wo wir denn hinwollen. Wenn dir, nachdem du x=5(2y+1) nach y umgestellt hast und mit dem Ausdruck für z verglichen hast, das Richtige aufgefallen ist, könnte man sich einen wesentlichen Teil der Rechnerei sparen. Wir wollen ja nur die Gleichheit zeigen 😉

      • AndyP

        Hey Robin!

        Danke für den Hinweis. Als ich gestern beim Joggen nochmal über den Beweis nachgedacht hatte, fiel mir auch auf, dass die Aussagen:

        „x ist ein Vielfaches von 10 um 5 erhöht“ und
        „x ist das Produkt einer ungeraden Zahl und 5“

        algebraisch das gleiche sind. Da bin ich buchstäblich fast gegen eine Laterne gelaufen 🙂
        Ganz ehrlich, das ist wirklich cool und zeigt mir mal wieder, wie powerful Mathematik ist. Im Sprachgebrauch hören sich die Aussagen sehr verschieden an.

        Bzgl. deiner zweiten Anmerkung zur umständlichen Beweisführung:

        Ja, da bin ich glaube ich eher aus dem „altmodischeren“ Lager, was die Beweisführung angeht.
        Für mich ist ein Beweis nur dann gut, wenn man ihn beim Lesen ohne größere Schwierigkeiten verstehen kann.
        In der Analysis-Vorlesung gab es häufiger folgende AUssagen unseres Professors, während er einen Beweis führte:
        „… So, dann schauen wir nochmal ganz scharf hin und wählen Epsilon einfach als max( Delta/2; 1/(Delta +1) ) …und fragen Sie nicht warum. Dass ist einem schlauen Menschen mal im Schlaf eingefallen …“

        Heute (1 Jahr später^^) bin etwas weiter im Denken und bin erschüttert, dass ein Professor seine Student so schamlos anlügen kann.
        Seitdem versuche ich meine Beweise so zu führen, dass sie möglichst intuitiv und nicht möglichst kurz sind.

        • cspannagel Post author

          @AndyP Ja, du hast mit dem Zitat deines Professors ziemlich genau den Unterschied getroffen zwischen „einen Beweis nachvollziehen“ und „Beweisen lernen“. Beweisen ist ein Prozess, in dem man viele Irrwege geht, Dinge ausprobiert, in Sackgassen läuft, verschiedene Intuitionen hat, manche richtig, manche falsch…. der Aufschrieb sieht meist zunächst ein wenig wirr aus… irgendwann ist man so weit in das Problem eingedrungen, dass man sich eine tragfähige Vorstellung erarbeitet hat… und dann wird einem klar, dass es z.B. mit „epsilon = delta/2“ funkioniert…. und dann (!) schreibt man den Beweis nochmal sauber auf. Dann steht da „sei epsilon = delta/2“, und jeder fragt sich: „Wie kommt der da drauf?“. Der Witz: Es steht ja nicht der Prozess der Beweisfindung da, sondern der Beweis – also das Produkt des Prozesses. Daran ist der Prozess oft nicht mehr zu erkennen.

          Und geht es hier um den Prozess.

  3. Robin10

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Stößchen1.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Stößchen1-108×150.jpg“][/a]
    Hallo!
    Ich habe mich mal mit dem Thema „Stößchen“ auseinandergesetzt. Muss aber sagen, dass ich nachgeschaut habe, wie der Trick funktioniert, konnte ihn aber dafür (hoffentlich) beweisen. Ich hoffe, meine Schrift ist lesbar 🙂

    • Robin10

      [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Stößchen2.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Stößchen2-108×150.jpg“][/a]
      2. Teil

      • Robin10

        [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Stößchen3.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Stößchen3-108×150.jpg“][/a]
        3. Teil
        Anmerkung. Ich weiß, dass die allgemeine Formel (im allerletzten Schritt gilt), weil ich gegoogelt habe, ob es nicht eine Formel gibt, die das Ganze zusammenfasst. Link: http://www.wer-weiss-was.de/theme252/article4966371.html
        Und wenn jemand möchte, kann er ja den Trick nochmal explizit in Worte fassen.
        Ich hoffe erstmal, dass der Beweis so stimmt. Falls jemand weitere Anregungen, Ideen hat, bitte schreiben 🙂

        • Robin10

          [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Stößchen4.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Stößchen4-108×150.jpg“][/a]
          Und der Vollständigkeit halber: Beweis des zum Schluss verwendeten Zusammenhangs mittels vollständiger Induktion.

    • Mirjam

      [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Schnapszahlen-Rechentrick.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Schnapszahlen-Rechentrick-127×150.jpg“][/a]
      Hallo Robin,
      ich habe mich mal an deinen Beweis ran gewagt. Auch wenn es bei manchen Schritten etwas gedauert hat, konnte ich am Ende alle nachvollziehen. Also ich würd sagen, du hast es bewiesen! 🙂
      Ich hab versucht, das ganze ein bisschen abzukürzen und dabei ein paar deiner Ideen geklaut 😉
      Was hältst du/haltet ihr von dem, was dabei rausgekommen ist? Hab ich irgendwas übersehen, dass es plötzlich so schnell ging?

      • Robin10

        Hallo Mirjam!
        Cool, dass du dir die Zeit genommen hast !

        Soweit sehe ich da nichts falsches in deinem Beweis. Der ist doch um einiges kürzer als meiner und am Ende haben wir doch beide dasselbe zeigen können 🙂
        Außerdem ist deine Schrift ja wohl um einiges besser und lesbarer als meine 😉

        Wenn ich jedoch pingelig sein darf:
        Wie viele Stellen hat denn die Zahl x für a=2 und n=3? 😉
        Und warum soll denn a größer 1 sein? Dann darf bspw. mit der armen 11 gar nicht so nach diesem Trick gerechnet werden 🙁
        Und noch etwas Erbsenzählerei:
        Schreib doch bitte noch dazu, dass a eine natürliche Zahl sein soll (vllt. hab ich’s auch übersehen…)
        Ansonsten sieht’s echt hübsch aus! 😉

        • Mirjam

          [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Schnapszahlen-Rechentrick-2.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Schnapszahlen-Rechentrick-2-127×150.jpg“][/a]
          Klar darfst du pingelig sein 😉
          Um nicht den ganzen Beweis ändern zu müssen, hab ich aus der n-stelligen eine (n+1)-stellige Zahl gemacht. Danke für den Hinweis. 🙂
          Und dass x und a natürliche Zahlen sind, sollte schon irgendwo auftauchen, da hast du recht. Allerdings würde es mit negativen, ganzen Zahlen a und x genauso funktionieren 😛
          Ich hatte die 1 für das a ausgeschlossen, weil man dann ja nicht wirklich einen Trick zum Rechnen braucht 😛 Aber funktionieren tut der Beweis natürlich auch für a=1. Dann wird das b einfach zur 0 und das c zur 9.
          Um sie nicht zu diskriminieren, hab ich die 1 also wieder mit aufgenommen 😉

  4. Philipp

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Beweis-von-Rechentrick..jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Beweis-von-Rechentrick.-207×150.jpg“][/a]
    Ich habe mich auch mal an einem Beweis für den Rechentrick versucht.

    Was ich gern wissen würde, ist, ob so etwas schon als Beweis zählen würde
    (oder ob formal gesehen etwas fehlt, abgesehen von einigen Zwischenschritten ;-).

  5. Franzi

    Hallo,
    ich hab da mal eine Frage zu dem Ikonischen beweisen von der 3. Binomischen Formel.
    Der schriftliche Beweis wäre ja : (a+b)(a-b)= a*(a+b)-b(a+b)
    = a²+ab-ba-b²
    =a²-b²

    Wie stelle ich dies als Ikonischen beweis dar? wenn ich es aufzeichne kommen immer andere, nicht passende Formeln raus.

    Es wäre sehr nett, wenn mir jemand von euch helfen kann =)

    Lg Franzi

    • Franzi

      [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/3.-Bin.-Formel-Ikonisch.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/3.-Bin.-Formel-Ikonisch-250×141.png“][/a]
      Zählt dies schon als Ikonischer Beweis?

      • cspannagel Post author

        Es ist noch kein ikonischer Beweis für die dritte binomische Formel, weil du zunächst symbolisch umgeformt hast. Tipp: Bei (a+b)*(a-b) würde mir im Bild eine Strecke der Länge „a+b“ fehlen… 🙂

        Nichtsdestotrotz: Für die im Bild dargestellte Formel hast du einen ikonischen Beweis geliefert!

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