Bitte ein Bilder-Beweis!

 

Beweisen kann man auch mit Bildern. Ikonische Beweise nennt man das. Hier ist ein Beispiel, in dem die ersten binomische Formel bewiesen wird. Drucke dir das folgende Worksheet aus und fülle es aus, während du das Video durcharbeitest. Wenn du Fragen hast, dann stelle sie einfach hier unten in einem Kommentar! Du kannst übrigens deine handschriftlichen Überlegungen auch abfotografieren und als Bild hochladen! Oder du zeichnest gleich online mit Geogebra.

27 thoughts on “Bitte ein Bilder-Beweis!

  1. AndyP

    Die Idee mit dem QR-Code finde ich super.

    Leider ist es etwas wenig herausfordernd, einfach das gleiche zumachen, wie auch bereits im Video gezeigt wurde. Eine Aufgabe, bei der man mehr überlegen muss wäre gut.
    Mein Vorschlag: Die zweite Aufgabe (mit konkreten Zahlenbeispielen) weglassen und dafür die – mMn – interessantere Aufgabe aus dem Schluss des Videos als Aufgabe stellen.

    Auch eine Extraaufgabe für die „ganz Mathe-Wütigen“ (also die Formalisierer, wenn ich das richtig verstanden habe) wäre toll.
    Z.B.: Schaffst du es einen ikonischen Beweis für (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ zu finden?

    Auch wenn ich es vermutlich sehr oft in die Kommentare schreiben werde: Klasse Arbeit die ihr hier macht!

    Frage: Wird diese Seite auch nach Ablauf des MOOC weiterhin verfügbar bleiben?

  2. cspannagel Post author

    @AndyP Die Idee hinter der Worksheets ist die, das man nicht nur Videos guckt, sondern auch einen Mitschrieb anfertigt (wie in einer Vorlesung). Die Worksheets strukturieren das vor. Ist das nicht gut?

    Deine Aufgabe zum ikonischen Beweis von (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ ist natürlich super!! Wer kann hierzu ein schönes Bild anfertigen?

    Diese Seite bleibt verfügbar, ja.

    • AndyP

      Bzgl. den Worksheets: Interessant, wenn sie als Mitschrieb gedacht sind, macht das natürlich eher Sinn. Allerdings – und das mag nur mein ganz persönlicher Eindruck sein – fühle ich mich dabei zu sehr an die Hand genommen.
      Mit der Kopfgeometrie/ – arithmetik machen Sie und Dr. Gieding einen sehr schönen und sehr direkten Schritt in Richtung „selbst denken“. Vielleicht lässt sich der ja auch bei der Anfertigung der Worksheets einarbeiten (leider fällt mir gerade keine gute Möglichkeit ein). Ich werde bei Gelegenheit mal brainstormen, was ich mich vorstellen würde.

      • cspannagel Post author

        Mmh… vielleicht sollten wir die Worksheets eher als optional darstellen in dem Sinne „Wenn du eine Vorstrukturierung magst, dann kannst du das nehmen“. Ich kann verstehen, dass du dich dabei zu sehr an die Hand genommen fühlen kannst, aber es gibt vielleicht auch Teilnehmer, die das gerne haben. Was meinen die anderen dazu? Lasst uns hier drüber diskutieren!

        Und: Impulse für eigene weitere Gedanken, ja stimmt, das hätten wir hier noch mehr einbauen können. Hat jemand Ideen, wie wir die Worksheets hier mehr in diese Richtung verändern könnten?

  3. Andreas Schenkel

    Hier eine Geogebra-Datei zum Veranschaulichen der 1. Binomischen Formel.
    Ist gedanklich im ersten Schritt etwas anders aufgebaut, nämlich es wird eine Quadratseite a um ein Stück b verlängert. Tatsächlich finde ich den „umgekehrten“ Weg, eine Quadratseite in zwei Teilstrecken aufzuteilen etwas einfacher. Aber ist nur ne Kleinigkeit und die Lernzugänge sind je je nach Person unterschiedlich.
    Man kann z.B. die Erklärungsschritte in der Datei ausblenden/löschen und als Aufgabe dann Stellen, die einzelnen Schritte zu selbst nachzuvollziehen und zu erklären. Oder aber auch noch mit Eingabefeldern arbeiten, so dass die Antworten auf die Fragen nicht automatisch eingeblendet werden, sondern die Datei den nächsten Schritt erst freigibt, wenn man die richtige Antwort eingegeben hat ….
    http://www.geogebratube.org/material/show/id/45224

  4. francesco

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/a+b^3.pdf“]a+b^3.pdf[/a]
    Hallo alle,

    …möglicherweise eine
    brauchbare Skizze (im .pdf-Format) für (a+b)^3 ?

    Was meint ihr?

    • Mirjam

      Hey Francesco,
      wow, deine Zeichnung ist ja super übersichtlich! Ich find’s gar nicht so einfach, eine 3D-Zeichnung so hinzukriegen, dass man auch noch was erkennen kann 😛
      Aber ein kleiner Fehler hat sich trotzdem eingeschlichen. Bei den beiden Eckwürfeln hast du den kürzeren Seitenabschnitt mit a und den längeren mit b bezeichnet. Bei allen Quadern ist es genau umgekehrt. 😉

      • francesco

        Hallo Mirjam,
        Danke für das Kompliment! Es freut mich das zu lesen! Zu Deinem Hinweis habe ich noch eine Frage. Ich bin mir nicht sicher, ob ich das Problem richtig verstanden habe. Du bist der Meinung, dass der grosse Eckwürfel in allen Fällen mit a^3 beschriftet werden muss, der kleinere hingegen immer b^3?

        • Mirjam

          Nein nein, die Bezeichnung ist grundsätzlich beliebig. Sie muss nur einheitlich sein. Wenn du den großen Eckwürfel mit b^3 bezeichnest, müssen auch die längeren Kanten der Quader mit b bezeichnet werden. Dort ist es aber genau umgekehrt. Schau es dir nochmal genau an 😉

          Der Quader in der linken, oberen Ecke beispielsweise, hat zwei kurze und eine lange Kante. Mit dem großen Eckwürfel als b^3 bezeichnet, müsste dieser also als a^2*b bezeichnet werden. In deiner Zeichnung ist er aber als a*b^2 bezeichnet.
          Ich hoffe, ich konnte mich jetzt ein bisschen verständlicher ausdrücken 😛

          • francesco

            [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/a+b^3-Korrigendum.pdf“]a+b^3-Korrigendum.pdf[/a]
            Jetzt habe ich Deinen Hinweis verstanden, danke. Du hast natürlich Recht! Ich habe das bei der Beschriftung übersehen. Nun sollte es richtig sein: Ich habe in meiner Skizze einfach a^3 mit b^3 vertauscht. Sonst hätte ich 6 Korrekturen vornehmen müssen – Korrigieren für Faulpelze 😉

  5. Friederike

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/IMG_20130811_183647_0.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/IMG_20130811_183647_0-200×150.jpg“][/a]
    ging doch noch mit Handy…

  6. Lia

    Das ist echt super erklärt, allerdings finde ich es etwas zu langsam.
    Eigentich wollte ich aber was zum Worksheet sagen…. Ich finde es schade, dass man es sich ausdrucken muss, gibt es nicht vielleicht eine Möglichkeit es online lösbar zu machen?

    • cspannagel Post author

      Hi Lia!

      Das wäre prinzipiell möglich, aber wir glauben, dass es bei vielen Aufgaben vielen Teilnehmern einfacher fällt, auf Papier zu kritzeln, zu zeichnen, Formeln zu schreiben usw… natürlich kann man aber auch Online-Tools wie Geogebra oder Zeichentools nutzen, um die Aufgaben zu lösen! Und insbesondere toll wäre es, wenn du/ihr auch Tipps für nützliche Werkzeuge habt, die die MOOC-Teilnehmer nutzen könnten. Ein paar dieser Tools haben wir jetzt auf iversity auch vorgestellt:
      https://iversity.org/courses/mathe-mooc-mathematisch-denken

      Liebe Grüße,

      Christian

  7. Michael

    Inwiefern ist das aber tatsächlich ein Beweis für die allgemeine Gültigkeit der Formeln? Vorgeführt wurde es doch trotz allem an einem konkreten Quadrat mit bestimmten Längen. Auch wenn „a“ und „b“ hingeschrieben wurde, wird doch trotzdem in der Zeichnung wieder mit konkreten Größen gearbeitet, die hier nur nicht angegeben/nachgemessen sind. D. h. wodurch ist legitimiert, dass das gezeichnete Quadrat als Stellvertreter für alle beliebigen Quadrate dienen darf? Warum zeigt das an der Tafel ab ca. 8:00 vorgeführte, dass das nun für alle beliebigen Quadrate gilt und nicht nur für genau das an der Tafel gezeichnete (oder vielleicht nur für manche, z.B. nur für Quadrate mit a + b < 2 Meter oder so)?

    • cspannagel Post author

      Das ist eine gute Frage! Bei dieser Zeichnung muss man sich letztlich die Längen „variabel“ vorstellen – und das gibt meine Zeichnung noch nicht direkt wieder. Stelle dir in den Seiten an geeigneten Stellen „Punkte“ vor (in diesem Sinne: ______…______“).

      • Michael

        Danke! Handelt es sich bei einem ikonischen Beweis also gar nicht um einen „Beweis“ im strengen Sinne, sondern eher um ein didaktisches Instrument, um etwas einsichtig zu machen machen/zu veranschaulichen? „Variabilität“ als solche kann man ja nicht zeichnen, der Beweis stützt sich also neben der Zeichnung auch noch auf anderes, wenn ich richtig verstehe?
        Auch kann man ja auch keine Zeichnung anfertigen, wenn man für a und b etwa 0 oder negative Werte einsetzt?

        • cspannagel Post author

          Im strengen – formalen – Sinne: nein. Aber (!): Was als Beweis gilt, ist letztlich auch ein Stück weit Konvention. Wenn wir uns darauf einigen, dass wir ikonische Bilder, in denen die Allgemeinheit erkennbar ist, als Beweise gelten lassen, warum nicht? Die Sonderfälle hier sind tatsächlich nicht abgedeckt, aber für a,b>0 würde ich das als Beweis gelten lassen.

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