Geometrie: anwenden und üben

Eigene ikonische Beweise

Beweise, die mittels Zeichnungen geführt werden nennt man in der Mathematikdidaktik auch ikonische bzw. je nach Ausprägung halbikonische Beweise.

Den Höhensatz ikonisch beweisen

Das folgende Video zum Beweis des Höhensatzes von Euklid wurde von Studierenden der PH Heidelberg zur Vorbereitung auf eine Klausur (Didaktik der Geometrie) „quick and dirty“ generiert:

Das kannst du besser! Generiere selbst ein solches Video und überzeuge die Kiebitze mit deinem Video, dass Beweisen weder langweilig noch unverständlich sein muss. Nimm einfach deine Handykamera, stelle den Modus auf Video und los geht es. Lade das Video nach Youtube hoch und kopiere die Adresse deines Videos hier in die Kommentare.

Den Kathetensatz ikonisch beweisen

Kann man den Kathetensatz auch ikonisch beweisen? Versuche es und lade wieder ein entsprechendes Video hoch.

Emmas Beweis für den Satz des Pythagoras

Was meint ihr hierzu? Diskutiert was das Zeug hält.

Unser Pythagorasbeweis in der Version von Alan Kitching

Einfach nur gut und genial gemacht. Wir verneigen uns.

Sowas möchtest du auch können?
Das Programm hilft: http://www.geogebra.org/cms/de/
Lass uns an deinen Geogebraexperimenten teil haben. Mach Screenshots, Videos … .
Nebenbei: Unsere Experimentierumgebungen sind mit Geogebra gemacht.

Den Pythagoras anwenden

Dreieckspythagoras


Experimentiere: C lässt sich auf dem Halbkreis über \overline{AB} bewegen. J, K, L liegen auf entsprechenden Seiten der ehemaligen Quadrate und sind dort auch beweglich. Kannst du den Zusammenhang, der offensichtlich scheint, beweisen? Nutze das Worksheet.

Halbkreis-, Fünfeckpythagoras?

Kreiere eigene Pythagorasfiguren. Wie könnte eine Pythagorasfigur für Grufties aussehen?
Lass uns an deinen Entwürfen teil haben.

Du kannst deine Lösungen auch einscannen oder abfotografieren und als Bild hochladen. Oder zu zeichnest gleich online mit Geogebra.

Du möchtest mehr Übungen?

Kein Problem: Du findest sie auf der Aufgabenseite zu Kreisen

12 thoughts on “Geometrie: anwenden und üben

  1. Robin10

    Hallo!
    Es liegt die Vermutung nahe, dass in einem rechtwinkligem Dreieck die Summe der Flächen der „Kathetendreiecke“ stets gleich der Fläche des „Hypotenusendreiecks“ ist.

    (Fläche von BJC) + (Fläche von CKA) = Fläche von ALB

    Die Fläche eines Dreiecks ist allgemein: Fläche = (1/2) * Grundseite * Höhe

    (1/2) * a * h_BJC + (1/2) * b * h_CKA = (1/2) * c * h_ALB

    Zudem heißt es: „J, K, L liegen auf entsprechenden Seiten der ehemaligen Quadrate und sind dort auch beweglich“.

    Also ist Grundseite = Höhe

    (1/2) * a * a + (1/2) * b * b = (1/2) * c * c
    oder: a² + b² = c² (Satz des Pythagoras)

    Der müsste jetzt also bewiesen werden. Da er aber unter anderem bereits hier:
    http://testkapitel.mathemooc.de/pythagoras-meets-binom/ bewiesen wurde, sind wir fertig.

    • Rainer

      Naja, der Satz: „Die SUMME der Flächen der Quadrate, die an dem rechten Winkel anliegen, ist genau so groß, wie die Fläche des Quadrates, dass dem rechten Winkel gegenüberliegt.“ ist nun bewiesen.

      Wenn man man die „kleinen“ Quadrate mit a-Quadrat und b-Quadrat bezeichnet und das „große“ Quadrat mit c-Quadrat, ergibt sich:

      Fläche von a-Quadrat zusammengezählt mit Fläche von b-Quadrat ist genau so groß
      wie die Fläche von c-Quadrat.

      Haarspalterei? NEIN.

      Was können wir denn jetzt „formal“ daraus machen?

      Aha: das „Altbekannte“ aQuadrat+bQuadrat = cQuadrat.

      Wir haben als eine GLEICHUNG.
      Was kann man mit einer Gleichung machen? … Denk … Denk…
      z.B. mit einer Zahl malnehmen. !
      Was ändert sich?
      Ist sie immer noch gleich… ?

  2. Rainer

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Bathagoras-01.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Bathagoras-01-156×150.png“][/a]
    So, und hier der BAThagoras für Grufties 😉

    • Rainer

      [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/BAT-2.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/BAT-2-156×150.png“][/a]
      Achso, das gilt dann aber auch 😉

      • Josef

        Und ich dachte das Ganze, wäre Perspektive. Denn Bild 1 kann man gelten lassen.
        Bei dem kommentierten Bild stimmt sie nicht ganz(ohne zu messen).
        Für den Pythagoras, nicht nach gemessen und berechnet? Sagt uns das, dass pythagorärische Größen nicht perspektivisch darstellbar sind? Oder bin ich einfach einem Ulk aufgesessen?

        • Rainer

          [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Bathagoras-011.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Bathagoras-011-156×150.png“][/a]
          Der Satz des Pythagoras wie man ihn allgemein kennt, sagt:
          „Bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten ist genau so groß, wie die Fläche des Quadrates über der Hypothenuse.“
          (Hypotenuse:
          Herkunft:
          von griechisch ὑπό (ypo) = „unten“ und τείνειν (teinein) = „sich erstrecken“, im Sinne von „die sich unten erstreckende (Dreieckseite)“)
          Kathete:
          Herkunft:
          von lateinisch: cathetus = „senkrechte Linie“, Lot im 15. Jahrhundert entlehnt; aus gleichbedeutend griechisch: κάϑετος (káthetos); zu dem Verb: καϑιέναι (kathiénai) = hinablassen; aus κατά (katá) = hinab und ἰέναι (iénai) = lassen, werfen )
          Wenn wir jetzt Namen vergeben für die Kathetenquadrate (a-Quadrat, b-Quadrat) und für das Hypotenusenquadrat c-Quadrat, dann können wir das formal als a-Quadrat+b-Quadrat=c-Quadrat hinschreiben.
          Was hier steht ist eine Gleichung !!!!
          Eine Gleichung kann ich mit einer Zahl malnehmen (auf beiden Seiten bitte!), dann ist es immer noch gleich, was rechts und links steht.
          z.B. 0,5 mal (a-Quadrat+b-Quadrat)=0,5 mal c-Quadrat.
          Genau das machen wir, wenn wir von dem Quadraten etwas „wegschippeln“. Schneide ich etwa die Form einer Fledermaus, dann hab ich z.B. mein a-Quadrat mit einer Zahl kleiner als 1 malgenommen.
          (Warum?)
          Das wiederhole ich jetzt für b-Quadrat und c-Quadrat: Immer mit der gleichen Zahl malnehmen, also im gleichen Maßstab etwas „wegschippeln).
          Schlußendlich bekomme ich dann etwas wie 0,324 mal (a-Quadrat+b-Quadrat)=0,324 mal c-Quadrat.
          Oder in Fledermäusen gerechnet: Fläche von a-Bat plus Fläche von b-Bat = Fläche von c-Bat.
          Wie krieg ich denn nun die Flattermänner maßstäblich so hin, das sie auch tatsächlich den Pythagoras erfüllen? (Kleiner Tip: Kathetenquadrate ins Hypothenusenquadrat drehen und Flattermänner zentrisch strecken).
          —–
          Was nun das zweite Bild angeht: Wenn ich einmal die „richtige Größe“
          der Flattermänner berechnet habe, daß sie den Pythagoras erfüllen,
          dann tun sie das auch in jeder Fluglage 🙂

    • Rainer

      Und das ist erst recht KEIN BEWEIS !
      Aber: ! Was habe ich denn benutzt?
      1) VERSCHIEBEN:
      Verschieben des Scheitelpunktes eines Dreiecks, bei gleicher Höhe des Dreiecks
      — Basis-Strecke des Dreiecks bleibt GLEICH
      wo? Warum ist die Höhe GLEICH bzw. immer die SELBE?
      und dann …
      2) DREHUNG: Warum kann ich das DING drehen, ohne das sich die FLÄCHE ändert?
      und dann:
      3) VERSCHIEBEN-Klappe-die-Zweite:
      Warum geht das denn nun wieder?
      UND was hab ich denn dann?
      UND wo?

Schreibe einen Kommentar