Höhensatz und Kathetensatz entdecken und mittels Algebra beweisen

Kennst du einen, kennst du alle: die Satzgruppe des Pythagoras

Neben dem Satz des Pythagoras selbst gehören zur sogenannten Satzgruppe des Pythagoras der Kathetensatz und der Höhensatz des Euklid. Die Satzgruppe ist bei Oberstudienräten sehr beliebt, denn sie liefert relativ einfache Übungsaufgaben zum Beweisen auf formaler symbolischer Ebene. Hat man z.B. den Satz des Pythagoras bereits bewiesen, kann man die anderen beiden Sätze durch formale algebraische Umformungen aus dem Satz des Pythagoras ableiten.
Wir beginnen mit dem Höhensatz des Euklid. Diesen wirst du zunächst durch funktionale Betrachtungen entdecken, ihn dann formulieren um ihn schließlich weitestgehend mit den Mitteln der Algebra zu beweisen.
Danach passiert dasselbe für den Kathetensatz.

Alles eine Frage der Bezeichnung

Der vorliegende Teil unseres MOOC’s ist für Formalisierer und vielleicht auch für Anpacker gemacht. Aus diesem Grund gehen wir etwas weniger anschaulich vor. Im folgenden musst du einen mathematischen Text verstehen und ihn in eine Skizze (also ins Anschauliche) übersetzen. Viel Erfolg dabei. Drucke dir am besten das folgende Worksheet aus.

Höhensatz des Euklid

Den Höhensatz entdecken

Bewege den Punkt C auf dem Thaleskreis. Beobachte die beiden blauen Flächen. Was vermutest du?

Den Satz formulieren

Worksheet zur Formulierung des Höhensatzes

Den Höhensatzsatz beweisen

Den Satz des Pythagoras kennen wir schon. Damit ist der Beweis für den Höhensatz des Euklid ein Kinderspiel, oder? (zumindest mit den Worksheets des Mathemoocs …)

Der Kathetensatz

Den Kathetensatz entdecken

Bewege den Punkt C auf dem Thaleskreis. Beobachte die blauen und die gelben Flächen. Was vermutest du?

Den Kathetensatz formulieren

Worksheet zu: Kathetensatz formulieren

Den Kathetensatz beweisen

Worksheet zu: Kathetensatz beweisen

 
Du kannst deine Lösungen auch einscannen oder abfotografieren und als Bild hochladen. Oder zu zeichnest gleich online mit Geogebra.

33 thoughts on “Höhensatz und Kathetensatz entdecken und mittels Algebra beweisen

  1. Rainer

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    Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  2. Rainer

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    2) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  3. Rainer

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    3) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  4. Rainer

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    4) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  5. Rainer

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    5) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  6. Rainer

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    6) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  7. Rainer

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    7) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  8. Rainer

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    8) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  9. Rainer

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    9) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  10. Rainer

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    10) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  11. Rainer

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    11) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  12. Rainer

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S12.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S12-232×150.png“][/a]
    12) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  13. Rainer

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    13) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

  14. Rainer

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S14.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S14-250×147.png“][/a]
    14) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.

    • Todd

      Hi,
      ich weiss nicht, ob ich gerade etwas übersehe… Die Frage, die für mich bei deinem Beweis ungeklärt ist: Warum liegt der Höhenfußpunkt auf der Diagonalen im großen Rechteck? Gibt es dafür einen guten Grund (außer dem, dass er es in der Zeichnung tut)?

  15. Ulrich

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/ikonischer_Beweis_der_Kathensätze.html“]ikonischer_Beweis_der_Kathensätze.html[/a]
    ikonischer Beweis Kathetensätze

    • Anita

      Mein Compi ist neu. Java drauf und browser ist explorer 9. Betriebssystem Win 7 . Müsste doch eigentlich funktionieren. Ich gestehe, ich weiss eigentlich gar nicht wozu Java gut ist. Ist einfach drauf und erst vor ein paar Tagen die neueste Version heruntergeladen.

      • Ulrich

        [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/ikonischer_Beweis_Kathetensätze.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/ikonischer_Beweis_Kathetensätze-217×150.png“][/a]
        Java ist eine objektorientierte Programmiersprache und läuft oft
        im Hintergrund ab gerade im Internet mit allen Vorteilen und allen Gefahren.
        Mit explorer habe ich meine Graphik auch nicht aufbekommen, versuche es mal
        mit Firefox, einem alternativen (m. E. besseren) browsers. Mein
        Bildchen nochmal als PNG.Datei. Die muss gehen .-)

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