Kennst du einen, kennst du alle: die Satzgruppe des Pythagoras
Neben dem Satz des Pythagoras selbst gehören zur sogenannten Satzgruppe des Pythagoras der Kathetensatz und der Höhensatz des Euklid. Die Satzgruppe ist bei Oberstudienräten sehr beliebt, denn sie liefert relativ einfache Übungsaufgaben zum Beweisen auf formaler symbolischer Ebene. Hat man z.B. den Satz des Pythagoras bereits bewiesen, kann man die anderen beiden Sätze durch formale algebraische Umformungen aus dem Satz des Pythagoras ableiten.
Wir beginnen mit dem Höhensatz des Euklid. Diesen wirst du zunächst durch funktionale Betrachtungen entdecken, ihn dann formulieren um ihn schließlich weitestgehend mit den Mitteln der Algebra zu beweisen.
Danach passiert dasselbe für den Kathetensatz.
Alles eine Frage der Bezeichnung
Der vorliegende Teil unseres MOOC’s ist für Formalisierer und vielleicht auch für Anpacker gemacht. Aus diesem Grund gehen wir etwas weniger anschaulich vor. Im folgenden musst du einen mathematischen Text verstehen und ihn in eine Skizze (also ins Anschauliche) übersetzen. Viel Erfolg dabei. Drucke dir am besten das folgende Worksheet aus.
Höhensatz des Euklid
Den Höhensatz entdecken
Bewege den Punkt C auf dem Thaleskreis. Beobachte die beiden blauen Flächen. Was vermutest du?
Den Satz formulieren
Worksheet zur Formulierung des Höhensatzes
Den Höhensatzsatz beweisen
Den Satz des Pythagoras kennen wir schon. Damit ist der Beweis für den Höhensatz des Euklid ein Kinderspiel, oder? (zumindest mit den Worksheets des Mathemoocs …)
Der Kathetensatz
Den Kathetensatz entdecken
Bewege den Punkt C auf dem Thaleskreis. Beobachte die blauen und die gelben Flächen. Was vermutest du?
Den Kathetensatz formulieren
Worksheet zu: Kathetensatz formulieren
Den Kathetensatz beweisen
Worksheet zu: Kathetensatz beweisen
Du kannst deine Lösungen auch einscannen oder abfotografieren und als Bild hochladen. Oder zu zeichnest gleich online mit Geogebra.
Ich versuch mal, ob ich auf ein Album in facebook verweisen kann.
https://www.facebook.com/rainer.griese/media_set?set=a.10201842169080497.1073741829.1370865927&type=1
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Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
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2) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S03.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S03-221×150.png“][/a]
3) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
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4) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S05.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S05-250×147.png“][/a]
5) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
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6) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
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7) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S08.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S08-244×150.png“][/a]
8) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S09.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S09-232×150.png“][/a]
9) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S10.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S10-250×146.png“][/a]
10) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S11.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S11-241×150.png“][/a]
11) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S12.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S12-232×150.png“][/a]
12) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S13.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S13-250×144.png“][/a]
13) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S14.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/S14-250×147.png“][/a]
14) Ein Beweis des Höhensatzes über Kongruenzen.
Hi,
ich weiss nicht, ob ich gerade etwas übersehe… Die Frage, die für mich bei deinem Beweis ungeklärt ist: Warum liegt der Höhenfußpunkt auf der Diagonalen im großen Rechteck? Gibt es dafür einen guten Grund (außer dem, dass er es in der Zeichnung tut)?
15) Jetzt fügen wir alles zusammen:
https://www.youtube.com/watch?v=IHU1LDVLg3c
und
https://www.youtube.com/watch?v=Vvl5-qci91k
Jetzt sieht man, das die beiden großen Dreiecke kongruent sind und jeweils ein gelbes und blaues Dreieck enthalten, die ebenfalls kongruent sind.
Ziehe ich nun diese kleinen Dreiecke jeweils vom zugehörigen großen Dreieck ab, muß der Rest der übrigbleibt flächengleich sein. Voilá !
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Euklid-2.pdf“]Euklid-2.pdf[/a]
Ich hab das nochmal in einem PDF zusammengefasst.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/ikonischer_Beweis_der_Kathensätze.html“]ikonischer_Beweis_der_Kathensätze.html[/a]
ikonischer Beweis Kathetensätze
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/ikonischer_Beweis_der_Kathensätze1.html“]ikonischer_Beweis_der_Kathensätze1.html[/a]
In der Graphik wurde a^2 mit b^2 verwechselt.
Hier die korrigierte Fassung
@ Ulrich Was hat dein ikonischer Beweis für ein Format. Ich kann es nicht öffnen.
Das Format ist Geogebra exportiert im HTLM-Format. Wie kann
ich Dir helfen?
Man braucht dazu eine erfolgreiche Java-Installation.
Danke für die Nachfrage. Ich habe immer die neueste JAVA-Version installiert. Aber mit dem HTLM-Format ? Das weiss ich nicht, was das ist.
Dein Browser öffnet das HTLM-Format. Der muß aber Java zulassen.
Mein Compi ist neu. Java drauf und browser ist explorer 9. Betriebssystem Win 7 . Müsste doch eigentlich funktionieren. Ich gestehe, ich weiss eigentlich gar nicht wozu Java gut ist. Ist einfach drauf und erst vor ein paar Tagen die neueste Version heruntergeladen.
[a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/ikonischer_Beweis_Kathetensätze.png“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/ikonischer_Beweis_Kathetensätze-217×150.png“][/a]
Java ist eine objektorientierte Programmiersprache und läuft oft
im Hintergrund ab gerade im Internet mit allen Vorteilen und allen Gefahren.
Mit explorer habe ich meine Graphik auch nicht aufbekommen, versuche es mal
mit Firefox, einem alternativen (m. E. besseren) browsers. Mein
Bildchen nochmal als PNG.Datei. Die muss gehen .-)
Hatte auch Probleme mit Geogebra, das ich installiert habe. Mit Geogebra und Java stimmte etwas nicht mehr. Hab beide Programme deinstalliert und danach neu runtergeladen. Jetzt funktoniert Geogebra wieder aber dein Link öffnet sich nach wie vor nicht.
Jetzt hats geklappt. 🙂
Was hat jetzt geklappt? Der HTLM-Link oder die PNG-Graphik?
Muss wohl die PNG-Graphik sein.