Mathe im Quadrat

 

Zueinander smarte Quadrate

In diesem Video wird dir erläutert, was „zueinander smarte Quadrate“ sind (auch: smaaate Quadraaate): Zwei Quadrate sind smart zueinander, wenn man sie zu einem größeren Quadrat zusammenlegen kann.

Findest du weitere Quadrate, die smart zueinander sind? Stelle hier deine Vorschläge und Ideen als Kommentar ein. Auch wenn du Fragen hast oder etwas unklar ist: Kommentiere einfach! Lasst uns hier eine Diskussion über smarte Quadrate führen! 🙂

Eine Bitte: Wenn du weißt, was dahinter steckt, und wenn du vielleicht ein mathematisches Konzept kennst, das damit in Verbindung steht, dann behalte es noch ein wenig für dich. Es wäre schade, wenn du hier kommentieren würdest, dass es sich bei den zueinander smarten Quadraten eigentlich um das Konzept XYZ handelt, das jeder googeln könnte und sich damit den Spaß am eigenen Entdecken selbst nehmen würde. Also, wenn du weißt, „worum es geht“, dann schweige und genieße. 😉 … oder hilf den anderen so, dass sie ein Stück weiter kommen, aber ohne dass du dabei zu viel verrätst!

107 thoughts on “Mathe im Quadrat

  1. Helga

    Ich habe keine Ahnung von mathem.Konzepten und habe folgendendes ausprobiert

    die Seitenlänge des 1.Quadrates mal 2 plus 1 ist die Quadratzahl des 2. Quadrates
    ??????

  2. Irene

    Also ich habe noch mal überlegt und in excell rumgespielt:
    Seite eines Quadrates ist a
    Wurzel (SQRT) aus a+(a+1) sollte b also die Seitenlänge des smarten Quadrats zu a*a sein.
    Das hat zumindest funktioniert für:
    a=4 und b=3
    a=12 und b=5
    a=24 und b=7
    a=40 und b=9
    a=60 und b=11
    und weiter habe ich die Formel in excell nicht runtergezogen.

    Aber wenn ich mir diese kurze Reihe anschaue, dann scheint es so zu sein, dass ich die Formel umdrehen kann und für alle ungeraden Zahlen das entsprechende smarte Quadrat errechnen kann durch die Formel:
    ((b*b)-1)/2
    Wobei die Lösungsmenge für b alle positiven ungeraden natürlichen Zahlen sind. (zumindest grösser/gleich 3).

    Somit müsste es also eigentlich unendlich viele smarte Quadrate geben.

    Ob es für 1 auch gilt kann ich nicht sagen, denn ich kann mir das bildlich nicht vorstellen. Wenn ich NICHTS habe und dieses NICHTS rechts um 0,66 und unten um 0,33 erweitere, dann hätte ich zwar 1, aber ist das zulässig?
    Ich freue mich über Eure Hinweise/Erklärungen.

  3. Robin10

    Hallo Irene!
    Sehr gute Idee, mit Excel zu arbeiten 🙂
    Ich habe die Vermutung, dass x² + y² = z² (x, y , z natürliche Zahlen) für mindestens alle die Zahlen gilt, die im Verhältnis 4/3, 12/5, 24/7, 40/9 usw. stehen. So gilt es bspw. für 8 und 6, denn 8² + 6² = 10² oder 36² + 15² = 1521 = 39²… Nun vermutest du, dass wenigstens für die ungeraden Zahlen (b) gilt sqrt(a+(a+1)) = b. Für den Fall a = 36 erhalten wir allerdings nicht 15. Deine Formel scheint also (alle?) möglichen, nicht mehr kürzbaren Verhältnisse auszuspucken, die wir natürlich beliebig erweitern können. So können wir beispielsweise aus dem Verhältnis 40:9 die Zahlen a = 520 und b = 117 erhalten… 520² + 117² = 284089 = 533².
    Wir scheinen denke ich auf dem richtigen Weg zu sein. Lass uns doch jetzt einmal versuchen, beides zu verbinden 🙂
    Mir ist außerdem aufgefallen, dass sich der Rest immer um 1 erhöht:
    4 mod 3 = 1, 12 mod 5 = 2, 24 mod 7 = 3, 40 mod 9 = 4, 60 mod 11 = 5,
    84 mod 13 =6, 112 mod 15 = 7, 144 mod 17 = 8 usw. zudem scheint a stets durch 4 teilbar zu sein. Vielleicht kann uns das ja irgendwie helfen. Dann lass uns mal weiterüberlegen 😉

    • Robin10

      Ach und Irene zum Thema:
      „Ob es für 1 auch gilt kann ich nicht sagen, denn ich kann mir das bildlich nicht vorstellen. Wenn ich NICHTS habe und dieses NICHTS rechts um 0,66 und unten um 0,33 erweitere, dann hätte ich zwar 1, aber ist das zulässig?“
      Ich würde einfach sagen, dass a² das „fundamentale“ Quadrat ist und b² das ergänzende. Nun, falls wir nichts haben (a = 0) und 1² (b = 1) dazupacken. Naja, dann haben wir eben ein Quadrat bzw. ein Quadratkästchen, wenn man es sich mal auf einem karierten Papier vorstellt 🙂 Umgekehrt dürfte das genau so wenig problematisch sein. Wir haben 1² und packen 0² hinzu. Wir haben ein sagen wir mal ausgemaltes Kästchen. Jetzt sollen wir es mit 0 ergänzen. 0 ergänzen heißt in dem Fall meiner Meinung nach, nichts weiteres ausmalen. Also fertig 🙂

      Sorry, wenn ich die Nachrichten hier so zerstückelt schreibe, aber manches fällt einem dann ein bzw. auf, wenn man kurz vorher die andere Nachricht abgeschickt hat und leider gibt es hier keine Edit Funktion (oder sie hat sich gut versteckt 😉 ).

      • Robin10

        [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Namenlos-1.pdf“]Namenlos-1.pdf[/a]
        So ich habe mal versucht beides in einer Formel zu verbinden:
        Dazu habe ich geguckt, wie ich die Summe von i=0 bis n über 4i ausdrücken kann. Das geht recht schnell, wenn man sich überlegt, dass die Summe so dargestellt werden kann:
        4*(n+(n-1)+(n-2)+…(n-n))
        Wir haben also insgesamt n mal n (n²) und ziehen davon die Summe der Zahlen von 1 bis n ab (kleiner Gauß).
        Daraus habe ich dann insgesamt erhalten:
        4*(n² -[(n*(n+1)/2]
        Allerdings habe ich n durch n+1 ersetzt, weil ich dann nicht für n=0 und n=1 dasselbe (nämlich 0) erhalte. So erhalte ich für n=0 0, für n=1 4, für n=2 12 usw. also das was wir haben wollten. (Den Beweis dazu mittels vollständiger Induktion mache ich vielleicht später).

        Es fehlt also nur noch die ungerade Zahl b, die wir durch 2n+1 darstellen wollen.

        Insgesamt erhalten wir den Quotienten/ das Verhältnis a/b, auf welches wir ja aus sind. SIEHE BILD!!!

        Wir wissen, dass zu jedem a ein b gehört. Ich muss hier anmerken, dass das (n+1). a zu dem n. b gehört
        Also:
        a=0 (1. a)
        a=4 (2. a)
        a=12 (3. a)
        usw.

        Für b dagegen:
        b=1 (0. b)
        b=3 (1.b)
        b=5 (2.b)
        usw.

        Setzen wir beispielweise für n=1 ein, erhalten wir erhalten wir a = 4 und b = 3
        also a/b = 4/3. Vergleicht man mit der Liste für a und b, sieht man, dass eben gerade das 1. a zu dem 0. b gehört bzw. das (n+1). a zum n. b 🙂

        So wenn wir den Spaß jetzt (ich denke mal mittels vollständiger Induktion) beweisen, müssten wir fertig sein, oder? Was meint ihr? Stimmt ihr mir zu, dass die Formel den Zusammenhang richtig beschreibt?

          • Robin10

            Ich bin verwirrt, nochmals sorry 🙁
            Wir bleiben denke ich besser doch dabei, dass das (n+1). a gehört zum n. b, dann kriegen wir keine Probleme, wenn n = 0 ist. Aber ich hoffe, ihr wisst was ich meine. Ich gehe mal lieber schlafen. Bis morgen. Ich freue mich auf weitere Diskussionen 🙂

        • Irene

          Hallo Robin,

          Du hast bei dem Post „So ich habe mal versucht beides in einer Formel zu verbinden:“ als Anhang eine Formel mit Brüchen angehängt.
          Kannst Du mir bitte verraten, wie ich solch eine Formel schreiben kann. Geht das in Word, oder mache ich das in Powerpoint und speichere es dann als Bild ab?
          Oder ,was noch cooler wäre, es gibt sogar eine App. mit der man solche Formeln schreiben kann. Ich habe ein amerikanisches Notebook und auf der Tastatur leider weder „grösser“ und „kleiner“ oder „hoch2“ oder dergleichen.

          • Robin10

            Dazu habe ich LaTeX benutzt, Irene 😉 Die pdf-Datei „Namenlos-1“ habe ich so mit dem Programm LaTeX geschrieben. Zu den Bildern mit dem roten Rand: Das ist leider nur eine Notlösung, weil mein Rechner komischerweise seit heute morgen nicht mehr startet. Bin deshalb am Laptop, habe hier aber noch kein LaTeX drauf (Hatte keine Lust so lange zu warten bis es heruntergeladen ist). Deshalb habe ich dazu Nachrichten bei uni-protokolle geschrieben (der beinhaltet quasi LaTeX. Da kann man dann auf Vorschau klicken und sieht dann eben das, was in den Bildern gezeigt ist. Dann benutze ich das Snipping Tool und schneide mir den Teil heraus (ich will ja nicht die ganze Seite haben), daher der rote Rahmen 🙂
            Also kurz und knapp LaTeX, kannst es dir herunterladen kostenlos, google doch einfach mal danach 😉

          • Mila

            Auch in Word kann man Formeln schreiben, Mensch gehe dazu einfach auf Einfügen, Symbole, Formeln.
            Viel Spaß beim weiteren rechnen und Formeln finden, die so auch schön aufgeschrieben werden können 🙂

      • Martin

        Vielen herzlichen Dank für den konstruktiven Austausch! Noch besser funktioniert das direkte Aufeinander-Reagieren in den Kommentaren, wenn du die Reply-Funktion zum konkreten Kommentar benutzt. (Dann entsteht eine Art Thread, ähnlich wie in einem Forum.)

    • Anita

      8^ + 15^ = 17^
      Das wäre dann zwischendurch noch ein Verhältnis 15/8 . Ein Verhältnis wird wohl bei allen Zahlen, die die Bedingung des xyz Kozept erfüllen, so feststellbar sein. Aber um die zu finden, hilft mir die Suche nach dem Verhältnis nicht weiter.
      Ganz schön knifflig.

      • josef

        Hi anita, ich bin irgendwann beim durchforsten bei cs auf folgendes gestoßen a=x^2-y^2
        b=2xy
        c=x^2+y^2

        setzt du nun für x und y einen beliebigen wert ein kannst du durch testen fündig werden.
        ich habe den link der Vorlesung nicht zur hand. aber cs hilft dir bestimmt gerne weiter. auf jeden fall funkt es, wie bei cs nicht anderst zu erwarten.
        soll dich nicht davon abhalten noch andere variationen zu testen.

  4. cspannagel Post author

    @Helga @Irene @Robin10 Ich bin hin und weg von eurer Diskussion und eurem gemeinsamen Vorgehen!

    @Helga du hast eine gute Vermutung geliefert! Es ist toll, dass du sie mitgeteilt hast, auch wenn du noch keine Idee hattest, ob das funktioniert oder stimmt. Das macht ja nichts, die Idee darf und soll geäußert werden! Denn das hat Irene die Möglichkeit gegeben, sich weiter damit zu befassen und die Idee systematisch zu untersuchen.

    @Irene Das ist wirklich toll: Du hast ein Verfahren gefunden, mit dem man unendlich viele zueinander smarte Quadrate basteln kann! Magst du uns mal dein Excel-Blatt zur Verfügung stellen? Es ist bestimmt für viele interessant zu sehen, wie du das gemacht hast. Und das Vorgehen ist klasse: Erst mal ausprobieren, und zwar systematisch! Super!!

    Jetzt schließt sich natürlich direkt die folgende Überlegung an: können wir uns schon sicher sein? Eigentlich fehlt jetzt noch eine gute Begründung oder ein Beweis, dass das auch wirklich immer so funktioniert… wer findet einen Beweis? (ikonisch? symbolisch?)

    @Robin10 Und jetzt kommst du: Du äußerst eine Idee, wie man aus einem bestehenden Paar von Quadraten beliebig viele weitere herleiten kann. Echt gut!

    … macht weiter so! Es gibt noch viel zu entdecken! Denn: Es bleibt weiterhin die Frage im Raum stehen, ob ihr mit euren Verfahren denn schon alle zueinander smarten Quadrate finden könnt…. 🙂

    • Robin10

      Falls meine Formel stimmt, könnten wir noch eine Variable als Faktor davorsetzen, die eine natürliche Zahl sein muss. Schon hätten wir alle möglichen smarten Quadrate erfasst 🙂 Richtig?

    • Irene

      Hallo,

      Gibt es eigentlich im MOOC auch ein Collaboration-Tool, in das sich Teilnehmer einwählen können um Bilder oder Dateien auf einem Whiteboard sharen können und dazu über eine Konferenzschaltung zu sprechen? Ich persönlich arbeite so am Besten. Oder können Kursteilnehmer ihre Skype-Namen austauschen um sich zu virtuellen Arbeitsgruppen zusammen zu finden?

      Wäre doch sehr nett wenn sich virtuelle Teams und Arbeitsgruppen finden würden.

  5. Irene

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Smarte-Quadrate.xlsx“]Smarte-Quadrate.xlsx[/a]
    Hallo Robin,
    als ich heute Morgen in meine Mail schaute war ich geplättet von Deinen Überlegungen. Zunächst konnte ich die Formeln überhauptnicht nachvollziehen. Wahrscheinlich deshalb weil ich nicht weiß was „mod“ bedeutet oder „kleiner Gauß“.

    Aber mittlerweile habe ich mein excell-sheet (vgl. Anlage) etwas erweitert und ich glaube zu verstehen, was Du meinst.

    Zum einen ist mir aufgefallen, dass die Seitenlänge c des neuen Quadrates, welches durch die Addition der beiden smarten Quadrate a2 und b2 entsteht, immer die Seitenlänge a+1 hat. D.h. wenn ich ein Quadrat mit der Seitenlaenge 13 habe dann kann ich davon ausgehen, dass ich die insgesamt 169 Einzelquadrate von C aus einem Quadrat A mit der Seitenlaenge a=13-1 = 12 und somit 144 Einzelquadraten (12*12=144) und einem Quadrat B mit der Seitenlaenge Wurzel aus 169-144 = Wurzel aus 25 = 5 also mit der Seitenlaenge b=5 zusammensetzen laesst.

    Zum anderen ist mir aufgefallen, dass die Wurzel a2+b2 fuer a=n beginnend mit n=0 die ganzen natuerlichen Zahlen in aufsteigender Reihung ergibt.
    Aber nicht fuer alle Ergebnisse laesst sich a2 durch die einzelnen Teilquadrate von b2 zu einem neuen Quadrat c2 ergaenzen. d.h. es ergibt nicht immer schöne ganzzahlige neue Quadrate.

    Zum Dritten folgt der Abstand zwischen den ganzzahligen c Quadraten einer Gesetzmässigkeit und kann beschrieben werden durch
    1+1*4
    1+1*4+2*4
    1+1*4+2*4+3*4
    etc.
    ich denke diese Gesetzmäßigkeit hast Du in einer Deiner Formeln beschrieben.

    • Robin10

      Hi Irene!
      Zu deinem ersten Punkt: Sehr schön, dass du eine weitere Beziehung zwischen a und c erkannt hast. a + 1 = c scheint mir dabei aber auch wieder nur für die unkürzbaren Verhältnisse a:b zu gelten. Soll es auch für die kürzbaren gelten, müssen wir bei dem Ausdruck a+1 die 1 mit dem Faktor multiplizieren, mit dem wir das ursprüngliche unkürzbare Verhältnis erweitern haben.
      Beispiel a = 4, b = 3, c = 5. 4² + 3² = 5² 4+1 = 5 (passt)
      *(2/2) [Wir dürfen das Verhältnis ja nicht verändern, deshalb mal 2/2]
      a = 8, b = 6, c = 10. 8² + 6² = 10² 8 + 1 = 9 (passt erstmal nicht) Beachtung der Erweiterung mit (2/2) 8 + 2*1 = 10 (passt) 🙂

      Zu deiner zweiten Anmerkung: Ja, ich stelle mir hier erstmal die Frage, ob wir überhaupt mit allen reellen Zahlen > 0 arbeiten dürfen/ sollen. Warum eigentlich nicht? Ist zwar hässlich, aber gehört denke ich dazu. Ist aber auch gar kein Problem, denn wenn wir die unkürzbaren Verhältnisse erweitern und jedes mögliche Quadrat erzeugen wollen, wählen wir einfach eine passende Erweiterung 😉 Das ist dann aber auch irgendwie blöd, denn dann könnten wir einfach immer mit einem einzigen beliebigen Verhältnis arbeiten.
      Beispiel: 12² + 5² = 13²
      13² können wir aber auch mittels a = 4 und b = 3 erzeugen
      Es gilt: (4x)² + (3x)² = 13²
      x² = 13²/(4²+3²)
      Somit wäre x (die Erweiterung) = 13/5. Wir können also 4 und 3 mit 13/5 multiplizieren und erhalten nach Zusammensetzen der Quadrate das Quadrat der Kantenlänge 13.
      Wird’s so nicht langweilig? Aber so wäre es einfacher 🙂 Ich weiß nicht, was meint ihr, sollen wir zulassen, dass wir bei der Multiplikation der Verhältnisse mit dem Faktor (x/x) bzw. a mit x multiplizieren und b mit x multiplizieren alle reellen Zahlen > 0 einsetzen dürfen oder doch nur natürliche Zahlen? Ich stimme für die natürliche Zahlen 🙂

      Und zu deinem letzten Punkt:
      Ja da hast du verwendet, dass sich a wie folgt verhält (0+4=4, 4+8=12, 12+12=24, 24+16=40…) und dass a+1=c.

      Kleiner Gauß wird auch Gaußsche Summenformel genannt. Sie gibt die Summe aller Zahlen von 1 bis n an.
      Mit Modulo Rechnung findet man den Rest einer Division heraus. a mod b gibt den Rest an der bei der Division a/b übrig bleibt. (Bspw. 5 mod 3 = 2, 12 mod 9 = 3) [Das habe ich aber nicht verwendet. Dachte nur, dass es uns vielleicht weiterbringen könnte].

      Also ich bin der Meinung, dass wir jetzt alle möglichen Verhältnisse berechnen können und durch Erweiterung auch alle anderen möglichen smarte Quadrate. Stimmt ihr da zu oder haben wir etwas übersehen?
      Mit der Unendlichkeit sind wir uns aber einig, denke ich. Wir haben alleine schon mit der Formel unendliche viele nicht mehr kürzbare Verhältnisse und daraus können wir noch beliebig viele Paare a und b erhalten, die sich quadriert zu einem Quadrat zusammenletzten lassen.
      Übrigens das Verhältnis scheint für große n gegen n zu gehen…

  6. josef

    die wohl bekannteste zahlenkombination 3, 4, 5 erweitern dürfte eine riesige menge von smarten quadraten ergeben.
    6, 8, 10; 36+64=100
    9,12,15; 81+144=225
    12,16,20; 144+256=400
    15,20, 25; 225+400=625
    18,24,30; 324+576=900 usw.
    ich glaube das kann man endlos fortsetzen, und wenn jemand ein triple außerhalb dieser serie findet, das es mit bestimmtheit gibt, kann er die vorherige nummer auch endlos wiederholen. aber der pythagoras hat mich auf eine viel lustigere nummer gebracht.

    • josef

      hi irene, du sucht smarte quadrate. 3, 4,5 ist die bekannteste kombination. also ein triple. 3^2 + 4^2 = 5^2 meint 9+16=25 richtig?
      erweiterst du nun jede zahl zb. mit 2 hast du eine neue kombination
      6^2+8^2=10^2 also ein neues triple 36+64=100 und so weiter.
      die zwei kleinen quadrate zusammengelegt ergeben immer ein drittes Quadrat, das sich aus der summe der kleinen dastellen läßt.
      45^2+60^2=75^2 2o25+3600=5625 . Diese so erstellten Quadrate ist die lösung für faule. ein bekanntes tripple mit einem Faktor erweitern und schon sieht es aus als hättest du was neues entdeckt, aber du hast etwas bekanntes nur vergrößert.
      ein neues triple nicht von dieser reihe 5^2+12^2=13^2 25+144=169
      wenn du nun wieder mit 2,3, 4 oder…. n erweiters erhältst du wieder eine unzahl von smarten Quadraten.
      hoffe es war alles richtig

  7. Robin10

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Vermutungenbeweis.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Vermutungenbeweis-250×148.jpg“][/a]
    Ich habe nochmal geschaut, ob man die Vermutung, dass c = a + 1 ist für die gekürzten Brüche, nicht mit dem von mir gestern beschriebenen Zusammenhang zeigen kann.
    Siehe Bild!

    • Irene

      Hallo Robin,

      Deine Ableitung sieht sehr professionell aus.

      Ich weiß zwar nicht, was Du mit den nicht mehr kürzbaren Brüchen meinst, aber die Formel sieht sehr eindrucksvoll aus. Leider lasse ich mich normalerweise von solchen Formeln immer gleich abschrecken, da ich denke, dass ich sie ohnehin nicht verstehe. Aber bei Deiner werde ich heute Abend versuchen es anhand meines excell-sheets nachzuvollziehen.

      Schade, dass wir nicht mal 5 Min. gemeinsam auf Deine Formel schauen können und dazu skypen.

      • Robin10

        [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen1.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen1-250×47.jpg“][/a]
        Hi Irene!
        Vielleicht war das mit „nicht mehr kürzbaren Brüchen“ nicht die beste Art, das zu beschreiben.
        Ich versuch’s nochmal besser zu erklären:

        Wir kümmern uns zunächst um das a:
        1.a = 0
        2.a = 1.a + 4 = 4
        3.a = 2.a + 8 = 12
        4.a = 3.a + 12 = 24
        5.a = 4.a + 16 =40
        usw.

        Für das n.a gilt also: n.a = (n-1).a + (n-1)*4
        Nun habe ich versucht, das in eine allgemeine Form zu bringen.
        Wir suchen einen Formel, mit der sich die Summe von i=0 bis n über 4i berechnen lässt.
        Anders geschrieben: 4*(n+(n-1)+(n-2)+…(n-n))
        Was sehen wir hier (den Faktor 4 beachten wir erstmal nicht, den übernehmen wir nur nachher):
        Wir habe hier n mal das n, also n².
        Wir sehen außerdem jeweils -1, -2, -3, -4,…,-n
        Die Summe aller Zahlen von 1 bis n lässt sich einfach berechnen nach der Gaußschen Summenformel (n*(n+1)/2. Falls du nicht genau weißt, was gemeint ist: http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel
        Wir sehen aber MINUS 1, MINUS 2,…, MINUS n. Das muss also von n² abgezogen werden. Für a erhalten wir somit insgesamt:
        4*(n² -[(n*(n+1)/2]
        Da hat mich jetzt allerdings noch gestört, dass für n=0 und n=1 a=0 ist. Ich habe dann n durch n+1 ersetzt, somit sollte das Problem behoben sein 😉

        Es fehlt uns nur noch das b, von dem wir wissen, dass es ungerade ist und beginnend bei 1 jeweils um 2 steigt.
        b = 2n+1

        Wir haben hier die Ausdrücke für a und b. Jetzt können wir natürlich für a und b jeweils einmal 1 einsetzen und dann dividieren, sodass man EIN mögliches Verhältnis erhält. Für n=2 erhalten wir EIN WEITERES Verhältnis, das teilerfremd zum Ersten ist usw. Dafür habe ich einfach a/b mit 4*((n+1)² -[(n+1)*(n+2)/2] und 2n+1 ersetzt, sodass wir sofort für jedes einzelne n ein anderes noch nicht bekanntes Verhältnis von a und b erhalten und somit eine weitere „Basis“ für noch mehr smarte Quadrate.

        Du hast jetzt noch vermutet, dass c = a+1 für eben diese „Basen“. Das habe ich einfach nachgerechnet und es hat gepasst 😉

        Wir können also alle möglichen „Basen“ berechnen, auf denen wir noch weiter aufbauen können, indem wir a und b (und c) mit einer beliebigen (natürlichen) Zahl multiplizieren. Insgesamt!!! da habe ich jetzt mal alles zusammen getragen. Siehe Bild!!! Und gerne nachrechnen. Was meint ihr? Sind wir am Ziel?

        • Irene

          Hallo Robin,
          vielen Dank für die tolle Erklärung. Ich habe es verstanden und zusammen mit Josefs Erklärung zu den Triples die von den „Faulen“ durch Multiplikation des Triples 345 mit natürlichen Zahlen erhalten werden, macht Deine Erklärung viel Sinn.

          Ob wir am Ziel sind kann ich nicht beurteilen, aber ich denke wir sind mit 7-Meilenstiefeln vorangekommen und haben als virtuelle Gruppe mehr und in kürzerer Zeit geschafft, als Einzelne von uns das alleine gekonnt hätten.

          Deine Erklärung bzgl. „kleinem Gauß“ hat mich an Schwarm-Intelligenz erinnert. Wenn man nur genügend viele Leute zu einem Thema befragt nähert man sich dem tatsächlichen Wert/ der Lösung auf +-1 an – selbst wenn die Spannbreite zwischen den einzelnen Antworten enorm erscheint.
          Das wäre ein Thema, das ich gerne diskutieren würde: gibt es eine Verbindung zwischen Gauß`scher Normalverteilung und Schwarmintelligenz? Wie groß muß ein Sampel mindestens sein um +-1 zu erreichen? .

  8. Anita

    Uff so viele Beiträge, ich hab sie nicht mehr alle im Kopf. Hab den Ueberblick verloren. Schreib hier halt einfach eine Feststellung: a , b, c in der nicht abgeleiteten Form (nicht multipliziert mit 2, 3 usw.), müssen teilerfremd sein. (Mag sein dass das schon jemand geschrieben hat.)

  9. Anita

    a b c
    3 4 5
    5 12 13
    7 24 25
    8 15 17
    9 40 41
    11 60 61
    12 35 37

    Wenn die erste Zahl, also a, gerade ist, dann ist c um 2 höher als b.
    Wenn a eine ungerade Zahl ist, dann ist c nur um eins höher als b.
    Vermute, dass sich da eine Formel ableiten lassen muss? oder auch nicht 🙁

  10. Anita

    Hallo Josef
    Thanks. Ich muss deinen Input durchdenken.
    Aber man alle Möglichkeiten durchtesten muss, dann dauert das ja ewig. Aber vielleicht genügen ein paar um hinter das Geheimnis zu kommen. Da muss es eine Formel geben, da bin ich sicher.

  11. cspannagel Post author

    Hallo zusammen,

    oh ja, ihr seid mit 7-Meilenstiefeln vorangekommen! Wirklich: Absolute spitzenklasse!

    Ich versuche, die Diskussion mal zusammenzufassen und euch weitere Impulse zu geben (die ihr z.T. schon selbst gefunden habt, aber evtl. ist es in der Diskussion nicht aufgefallen). Also:

    Ihr habt gemeinsam ein Verfahren entwickelt, mit dem man zueinander smarte Qaudrate finden kann. Aus n=1,2,3,4,5,….. bastelt ihr euch:
    b = 2n+1
    a = .. hier hat Robin eine Formel in der PDF-Datei geposted… Irene hatte auch schon eine Idee, wie man a aus b berechnen kann. Ihr könnt mit euren Überlegungen und Vereinfachung eine ganz kurze Formel für a finden… probierts mal!

    Robin hat es schon mit seiner Formel gezeigt, mit der kürzeren Formel für a kann man dann tatsächlich auch zeigen: In diesen Fällen ist c=a+1

    Darüber hinaus habt ihr gemeinsam herausgefunden, dass – wenn man einmal ein Tripel (=Dreierpäckchen) a, b und c gefunden hat, dass dann weitere sind: 2a,2b,2c ; 3a,3b,3c usw… es gibt also unendlich viele. Prima!

    Jetzt steht aber noch die Frage im Raum: Sind das alle? Ihr habt gezeigt, dass alle Zahlen die ihr so bildet, zu smarten Quadraten führen. Aber gibt es vielleicht noch weitere? Anita hat Zahlen in den Raum geworfen, die man so nicht bilden kann: a=8, b=15, c=17… Wenn man mit dem Verfahren von Irene & Robin b=7 setzt, dann ist a 24 und c 25. Für b=7 funktioniert aber auch a=8 und c=17… das kann man so also nicht finden… wie kommt man also darauf? welche neuen Möglichkeiten ergeben sich dadurch?

    Zu den Formeln: Es gibt zahlreiche Online-Editoren für Latex-Formeln. Schaut z.B. mal hier: http://www.sciweavers.org/free-online-latex-equation-editor
    Da kann man sich eine Formel zusammenklicken, bearbeiten, zu einem Bild konvertieren, und dieses dann herunterladen und in den Blog hochladen. Hier gibt es zusätzlich eine Übersicht über die Latex-Formeleingabe: http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX
    Vielleicht kennt jemand von euch aber noch einen schöneren Latex-Online-Editor?

    Und zu Irenes Vorschlag mit dem Kollaborationswerkzeug: Klar, gerne, lasst uns auch mit solchen Tools arbeiten, es spricht nichts dagegen! Hat jemand von euch Tipps für gute Tools? Womit wollt ihr arbeiten?

    • cspannagel Post author

      Huch, Fehler: Wenn man die Zahlen von Anita nimmt (a=8, b=15, c=17), dann ist b=15… mit dem Verfahren von Irene & Robin findet man dann aber a=112 und c=113… 🙂

    • Robin10

      [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen11.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen11-250×87.jpg“][/a]
      Oh man… hatte gar nicht mehr auf dem Schirm, dass Irene ja den Zusammenhang a = (b²-1)/2 beschrieben hat. Sorry, Irene! Dann ist a = 2n(n+1), da b = 2n+1. Was wir erhalten und, dass c=a+1 zeigt das Bild.
      Jetzt müssen wir noch den übrigen Fragen nachgehen. Z.b. herausfinden, für welche Paare/ Tripel, die wir mit dem jetztigen Verfahren nicht finden konnte, es denn noch gilt/ welche Besonderheiten es denn noch gibt.

    • Robin10

      [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen111.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen111-250×108.jpg“][/a]
      Hallo!
      Ich habe eine weitere Vermutung
      a b c
      4 3 5
      8 15 17
      12 35 37
      16 63 65
      20 99 101
      usw.

      Das heißt:
      a = 4n und b = an-1 = 4n² – 1
      Außerdem c = b + 2 = 4n² + 1 (Beweis siehe Bild!)

      • Robin10

        Auch dieser Zusammenhang scheint sich wieder auf beliebig viele Quadrate erweitern zu lassen 🙂
        Also gilt es für a = x*4n und b = x*(4n²-1) (und c = x*(4n²+1))

      • Robin10

        [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen22.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen22-250×68.jpg“][/a]
        So wir wissen zum Einen, dass es zu jedem Quadrat der Kantenlänge a = 4n ein passendes, smartes Quadrat der Kantenlänge b = 4n²-1 gibt. Wir wissen außerdem, dass es zu jedem Quadrat der Kantenlänge a* = 2m(m+1) [Habe n in m und a in a* umbenannt, um Verwirrungen zu vermeiden] ein passendes Quadrat der Kantenlänge b* = 2m+1 gibt. Außerdem ist die Menge aller a* Teilmenge der Menge aller a! Es gibt also für gewisse Quadrate 2 mögliche passende Quadrat. Wie wir das prüfen und uns das nützen kann, zeigt das Bild 🙂

        • Irene

          Unterschiedliche Seitenlängen der Quadrate B und C bei gleicher Kantenlänge des Quadrates A kann ich mir sehr gut vorstellen, allerdings nur dann, wenn der Durchmesser des Thaleskreises unterschiedlich lang ist.

          Ich habe im Geometrie-Teil mit dem Geo-Gebra Tool herumgespielt und es als einleuchtend empfunden, dass die unterschiedlichsten Kombinationen von Kantenlängen der Quadrate A und B jeweils ein fixe Kantenlänge des Quadrates C ergeben. Aber hier ist C eben fix, da die Kantenlänge von C durch den Durchmesser des Thaleskreises definiert ist.

          Wie bekommen wir jetzt dieses Bild und Deine Formel in Einklang? Wo in Deiner Formel ist die Kantenlänge C? Wenn wir diese konstant halten, dann sollten sich für unterschiedliche Seitenlängen c, unterschiedliche Triple erzeugen lassen, oder?

          Oder war das, was Du gestern mit Deinen Verhältnissen, bzw. Brüchen gemeint hattest. Dass man nicht von der absoluten Länge ausgehen sollte, sondern von möglichen Verhältnissen wie sich die Kantenlängen a und b über einer fixen Länge c abbilden lassen?

          • Robin10

            Hi Irene!
            Halten wir c fest, also die Hypotenuse und betrachten a² + b² = c².
            Nehmen wir uns ein beliebiges a… (c ist ja sowieso fest). Also gibt es ein b = sqrt(c²-a²). oder beliebiges b: dann ist a = sqrt(c²-b²).
            ABER mit a, b (von mir aus auch c) reelle Zahlen > 0 (für die Rechnung ist „>0“ zwar unerheblich, aber wir wollen’s ja auch zeichnen…).
            Ich denke wir reden HIER nur von den natürlichen Zahlen, im Video wurden die Quadrate unter anderem auch durch Mini-Quadrate zusammengesetzt… wäre das nicht so, wäre das doch auch ziemlich langweilig oder? Ich meine, dann könnte man ja einfach sagen, dass jedes beliebige Quadrat sich mit einem anderen beliebigen Quadrat zu einem Quadrat ergänzen lässt (a² + b² = c²). Dann wären ja alle Quadrate smarte Quadrate. Verstehst du, was ich meine?
            „Wenn wir diese konstant halten, dann sollten sich für unterschiedliche Seitenlängen c, unterschiedliche Triple erzeugen lassen, oder?“
            Ich verstehe nicht, was du hier meinst. Du sagst einmal „konstant halten“ und dann „unterschiedliche Seitenlängen c“.
            Ich bin der Meinung, dass es zu jeder Seite c genau 2 mögliche Kombinationen von a und b gibt, wobei a, b, c natürliche Zahlen. Die eine Möglichkeit ist die, die wir durch die Formel(n) erhalten. Die andere ist eigentlich dieselbe, nur a und b vertauscht 🙂
            Und ja ich denke, dass sich für unterschiedliche Seitenlängen c, unterschiedliche Triple erzeugen lassen, wobei wir die Menge C beschränken müssen, da wir ja nicht mit (allen) reellen Zahlen arbeiten, sondern nur mit den natürlichen.
            „Oder war das, was Du gestern mit Deinen Verhältnissen, bzw. Brüchen gemeint hattest.“
            Nennen wir es Steigung oder Winkel… Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen AC=4, BC=3, AB=5. Winkel an der Ecke A ist alpha = tan(3/4). Ich habe hier in diesem Fall erstmal ein Dreieck genommen, was eine mögliche „Basis“ für unendlich weitere Dreiecke bildet.
            Wir können aus dem Verhältnis AC:BC unendlich weitere Dreiecke konstruieren, bei denen der Satz des Pythagoras für natürliche Zahlen erfüllt ist. Nehmen wir den Faktor 2 und multiplizieren alle Seiten des ursprünglichen Dreiecks damit. Wir erhalten:
            AC=8, BC=6, AB=10… Winkel an der Ecke A ist alpha = tan(6/8)
            6/8 = 3/4 und das ist das ursprüngliche Verhältnis der Seiten, also ist der Winkel derselbe. Dieses Verhältnis ist eine einzige Basis!
            Eine weitere Basis ist beispielweise 12/5…
            Mir geht es zuerst einmal um diese „Basen“, denn es ist nicht schwer zu erkennen, dass, wenn der Satz des Pythagoras für natürliche Zahlen für die eine Basis erfüllt ist, er dann auch für Vielfache dieser Basis bzw. Seitenlängen gilt, denn das einzige was wir machen ist: Wir multiplizieren die Seiten mit einem Faktor:
            (x*a)² + (x*b)² = (x*c)². Da sich das x rauskürzen lässt, sieht man, dass wir wieder bei a² + b² = c² sind, also bei unseren ursprünglichen Seitenlängen, die den Satz für natürliche Zahlen erfüllen. Ist es klar geworden? Falls nicht, frag gerne nochmal nach 😉

            c habe ich mal aus dem Spiel gelassen, weil wir ja nur wollen, dass c eine natürliche Zahl ist. Und weil c = a + 1 bzw c = b + 2 ist und a, b auf jeden Fall natürliche Zahlen sind, muss auch c eine natürliche Zahl sein. Uns interessiert doch primär, welche Quadrate smarte Quadrate sind. Es heißt: „Zwei Quadrate sind smart zueinander, wenn man sie zu einem größeren Quadrat zusammenlegen kann.“
            Wir haben gezeigt, dass c eine natürliche Zahl ist, also, dass sich c² zusammenLEGEN lässt. Außerdem haben wir herausgefunden, dass all die Quadrate der Kantenlänge a = 4n mindestens ein passendes, smartes Quadrat. Zudem wir wissen auch, dass manche Quadrate aus der Menge aller a² ein weiteres mögliches Quadrat haben (Siehe letzter Post).

            „Dass man nicht von der absoluten Länge ausgehen sollte, sondern von möglichen Verhältnissen wie sich die Kantenlängen a und b über einer fixen Länge c abbilden lassen?“

            Ich hoffe, du kannst die Frage jetzt selbst beantworten. 😉

        • cspannagel Post author

          Mmh… sehr schön! … weshalb kann es nicht auch drei, vier oder fünf zu einem Quadrat passende weitere Quadrate geben? Und kann man beweisen, dass es zu jedem c und eine mögliche a-b-Kombination gibt? (bis auf die b-a-Variante ;-))

          • Irene

            zu: „Und kann man beweisen, dass es zu jedem c und eine mögliche a-b-Kombination gibt? “
            Sollte wohl heissen: „dass es zu jedem c NUR eine mögliche a-b-Kombination gibt“, oder?

          • Robin10

            [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen321.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen321-199×150.jpg“][/a]

            Ich weiß zwar nicht, ob ich das richtige verstehe und ob das folgende als Beweis reicht, aber kann ja nicht schaden, es mal zu schreiben:
            mögl. Beweis, dass es zu jedem c nur eine a-b Kombination gibt:

            Jetzt auf’s Bild schauen!

            Jetzt kann es noch sein, dass zufällig (b+2) = (a +1):
            a = b + 1

            Wir wissen, dass zum Einen der Fall a = 4n b = 4n² – 1 eintreten kann:
            4n = 4n² -1 + 1
            n = 1

            Der andere Fall: a = 2m(m+1) b = 2m + 1:
            2m(m+1) = 2m + 1 +1
            m = 1

            Es ist in diesem Fall aber: a(n=1) = 4 = a(m=1) und b(n=1) = 3 = b(m=1)
            Also wäre das dieselbe Lösung für c und es gäbe wieder nur eine Möglichkeit um auf c zu kommen.

            Ich weiß, wie gesagt, nicht, ob das akzeptabel ist und dies ausreicht, um zu zeigen, dass es zu jedem c nur eine mögliche Kombination a-b gibt. Deshalb bitte nochmal drüber schauen! Was meint ihr?

          • Robin10

            Ich habe mir auch mal angeguckt, wie man evtl. zeigen kann, dass es nicht auch drei oder mehr passende Quadrate zu einem Quadrat der Kantenlänge a = 4n geben kann.

            Es ist a = 4n = konst. (wir wollen ja zu einem mehrere suchen…).
            Also c² – b² = konst.
            Wir haben die Möglichkeit c und b zu verändern:
            (c+x)² – (b+y)² = konst. = c² +2cx+x²-b²-2by-y²
            Es muss also: x²+2cx-2by-y² = 0 sein.
            x(x+2c) – y(y+2b) = 0 = (c_2²-c²) – (b_2²-b²), denn x = c_2-c und y = b_2-b.

            Wir nehmen ja an, dass c_2 = a + 1; c = an + 1; b_2 = sqrt(2a + 1); b = an – 1
            Also:
            (a+1 + an+1)(a+1 – an-1) – (sqrt(2a+1) + an-1) (sqrt(2a+1)-an+1) = 0

            Vereinfacht man das ganze erhält man:
            a(a-4n) = 0
            Also a_1 = 0 und a_2 = 4n, wobei wir die 0 auch mit a_2 erzeugen können.

            Insgesamt erhalten wir:
            b = 4n² – 1; c = 4n²+1
            b_2 = sqrt(8n+1); c_2 = 4n+1
            mit n, b_2 natürliche Zahlen
            (Hier ist mir übrigens noch aufgefallen, dass b_2 für n = 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 usw. eine natürliche Zahl ist).

            Ich finde man kann besser sehen, dass wir es so bewiesen haben könnten, wenn man von hinten beginnt, sodass man am Schluss stehen hat: (a+1 + an+1)(a+1 – an-1) – (sqrt(2a+1) + an-1) (sqrt(2a+1)-an+1) = 0 = (c_2²-c²) – (b_2²-b²), wobei darauf zu achten ist, dass nur n eingesetzt werden, für die b_2 natürlich ist (auch wenn’s für andere n auch stimmt).
            Was ich mir dabei jetzt denke ist folgendes:
            Wir gehen von einem Quadrat der Kantenlänge a = 4n aus und erhalten den oberen Ausdruck, der nur auf höchstens ein weiteres Quadrat b_2² bzw. auch ein sich ergebendes Quadrat c_2² schließen lässt, weil wir ja b, b_2, c, c_2 von n abhängig gemacht haben (wir könnten hier übrigens noch a durch 4n ersetzen, habe ich jetzt aber nicht gemacht…).
            Aber auch bei diesem Beweis(?) bin ich mir nicht sicher. Was sagt ihr? Könnte das zulässig sein?

          • cspannagel Post author

            Hups, ich meinte NUR, nicht „und“. 🙂

            @Robin Schöne Überlegungen! Vielleicht ein weiterer kleiner Impuls: Du gehst von bestimmten Zusammenhängen aus (z.B. c=b+2 oder c=a+1). Dann gibt es immer nur eine Möglichkeit, das ist richtig. Aber vielleicht gibt es ja noch weitere Zusammenhänge? Wie sieht es z.B. aus mit c=a+100? Oder c=a+97123? 🙂

          • Robin10

            Mit c=a+100 und c=a+97123 sieht es gut aus 🙂

            Für den ersten Fall verhält sich a wie folgt:
            a=0, 22, 48, 78, 112…
            also 0+22=22, 22+(22+4)=48, 48+(22+4+4)=78 usw.

            Für den zweiten Fall, da fängt es erst ab a=17904 an 🙂
            a=17904, 20940, 221584, 548472, 549628, 592924, 595304, 596536 „usw.“
            Hier ist mir noch nichts aufgefallen. Fällt euch etwas auf?

            Jetzt müssen wir das erst einmal verallgemeinern, vllt sehen wir ja dann inwiefern die ganzen Zusammenhänge zusammenhängen 🙂

          • Robin10

            [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Quadtest.pdf“]Quadtest.pdf[/a]
            Bei dem 2. Fall liegt wohl ein Fehler vor 🙁
            Mein Mini-Programm (siehe pdf) spinnt rum. 2 unterschiedliche c… Mein Taschenrechner sagt wieder etwas anderes…
            Wisst ihr, wo der Fehler liegt?

            Beispielausgabe für ein a:
            a = 17904
            b² = 25755625
            b = 5075
            nach c² = a² + b² ist c = 5073,239103373701
            nach c = a + 97123 ist c = 1790497123

            Und mein Taschenrechner sagt mir für a = 17904:
            sqrt(97123*(2a+97123)) = 113625,0743 = b
            und c = 115027

          • Robin10

            [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen333.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen333-250×16.jpg“][/a]
            Nur kurze Anmerkung zum 1. Fall: Jedes 2.a beginnend bei 0 ist durch 4 teilbar, also als 4n darstellbar.
            Begründung:
            Siehe Bild!

            Wir haben also neue a (nennen wir sie a#) erhalten, die jetzt zum Teil (jedes 2. a#) nicht mehr der Form a=4n genügen.
            Manche a# sind auch in a* enthalten (so bspw. 112 = 4*28=4n, mit m=-0,5+sqrt(0,25+2n) [siehe älterer Kommentar vom 9. August, 12:04]; m = 7). Hier handelt es sich also um bereits entdeckte Quadrate, zu denen es zwei passende Quadrate gibt.

            Da ja einige Quadrate a#² nicht mehr unserer bisherigen Regel a=4n genügen, ist es an der Zeit eine neue Regel zu formulieren.
            Ich habe im Moment allerdings keine Idee.

            Den 2. Fall (c=a+97123) oder überhaupt andere Fälle müssen wir uns auch noch anschauen bis wir endlich mal sehen, unter welchen Bedingung das überhaupt funktioniert.

            Ich habe das Gefühl, dass wir noch viel zu tun haben oder den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen. Hat noch jemand Ideen?

        • Robin10

          [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Quadrate1.pdf“]Quadrate1.pdf[/a]
          Hallo!
          Ich habe mal versucht, unsere bisherigen Ergebnisse als Programm zu schreiben. Ich habe noch nicht allzu viel Erfahrung, was Programmieren angeht, deswegen würde ich mich freuen, falls jemand Verbesserungsvorschläge hat, wenn es an manchen Stellen zu umständlich oder zu hässlich ist.
          Das limit gibt an, bis wohin n läuft. Das könnt ihr variieren und etwas herumspielen.

          • Irene

            Tut mir leid Robin, ich hätte Dein Programm gerne mit Dir diskutiert, aber ich habe noch nie Programme geschrieben.

            Bei html pages arbeite ich immer nur im visual mode. Wenn es sein muß kann ich evtl. herausfinden wo ich im CSS code des templates content oder einen kurzen Befehl ändern muß, damit sich die Seite verändert, aber das ist auch schon alles.

            Ansonsten wende ich existierede Apps und Programme (SW) an um meine Ideen umzusetzen. D.h. ich bin der typische Zwerg auf der Schulter von Riesen, der versucht 1mm weiter hinter den Horizont zu sehen ….

            Aber falls es hier mal einen Kurs Programieren 101 für Dummies geben sollte, werde ich den Kurs gerne belegen.

    • Anita

      Das Problem mit diesen Tools ist, dass sie zu schwierig sind. ZB. Latex hab ich mir mal heruntergeladen, habs aber wieder entfernt. Wenn man noch nie mit sowas gearbeitet hat, muss man viel zu viel Zeit investieren um einigermassen klar zu kommen. Fast bei jedem Ausdruck nachschauen, wie man das eintippen muss ist obermühsam. Für jemanden, der täglich damit arbeitet ist das kein Problem, der weiss es schnell einmal auswendig. Von Hand gehts wohl für viele einfach schneller. Braucht dann nur eine Möglichkeit das Gescannte hochzuladen. Und wenn man sich bezgl. Handschrift ein bisschen Mühe gibt, ist es punkto Lesbarkeit auch kein Problem.

  12. Irene

    Hallo Robin,
    ich habe eben im Internet folgende interessante Info gefunden, hilft das weiter?

    Das Verfahren des indischen Mathematikers Brahmagupta

    Das 628 geschriebene Lehrwerk Brahmasphutasiddhanta beschäftigt sich hauptsächlich mit Astronomie, enthält aber auch zwei mathematische Kapitel. In Aufgabe 35 des 12. Kapitels (Gantitadhyäya – Arithmetik) gibt Brahmagupta die folgende Regel zur Gewinnung pythagoreischer Tripel aus der gegebenen Kathete a. (Leicht abgewandelt zitiert nach: H. Gericke, Mathematik in Antike und Orient, Wiesbaden 1992):

    Die Seite a des Dreieckes sei beliebig angenommen. Man teile a2 durch eine beliebige Zahl d. Dann sind (a2/d – d)/2 = b und b + d = c die beiden anderen Seiten des Dreiecks.

    Natürlich muß d ein Teiler von a2 sein, wenn die Lösung ganzzahlig sein soll. Um den Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras zu zeigen, wird zunächst b + d = c nach d aufgelöst und in (a2/d – d)/2 = b eingesetzt:
    b + d = c
    d = c – b
    (a2/(c – b) – (c – b))/2 = b
    a2/(c – b) – (c – b) = 2b
    a2/(c – b) – (c – b)2/(c – b) = 2b
    a2 – (c – b)2 = 2b(c – b)
    a2 – (c2 – 2bc + b2) = 2bc – 2b2
    a2 – c2 + 2bc – b2 = 2bc – 2b2
    a2 – c2 – b2 = – 2b2
    a2 – c2= – b2
    a2 + b2 = c2

    Da man b durch (a2/d – d)/2 erhält, können für d alle Teiler von a2 verwendet werden, für die a2/d – d gerade ist. c berechnet sich einfach aus b + d.

    Quelle: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/pythagotripel.htm

    • Robin10

      [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen123.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Aufzeichnen123-250×96.jpg“][/a]
      Hallo Irene!
      Ja das hat geholfen! Das einzige, was wir glaube ich noch hätten machen müssen, wäre gewesen allgemein c = b + d zu schreiben… ärgerlich! (Haben uns auch zu sehr an unsere ersten Ergebnisse (wie bspw. a=4n) geklammert)
      Was im Wesentlichen daraus folgt: Siehe Bild!

      Ich weiß nicht, ob man d noch konkreter fassen kann (außer zwischen 0 und a) oder ob man andere passende Werte für d durch Ausprobieren erhält. Aber hat sich der Kreis jetzt nicht (fast) geschlossen? 🙂

  13. Irene

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/600px-PythTripZent.gif“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/600px-PythTripZent-150×150.gif“][/a]
    Visualisierung der Phytagoras Triples im kartesichen Koordinatensystem

    Diese Visualisierung der Tripels finde ich sehr beeindruckend:

    Pythagoreische Tripel im kartesischen Koordinatensystem mit x und y von 1 bis 2500. Die deutlich dunklen Linien markieren Tripel der Form (3n)² + (4n)² = (5n)²; weitere Regelmäßigkeiten werden in der Vergrößerung sichtbar.
    Die Spiegelung an der 45°-Achse veranschaulicht das Kommutativgesetz.

  14. Irene

    @Martin
    ich habe in der e-mail mit Deinem Post den Button Antworten geklickt und bin hierher gekommen. Oben sehe ich aber leider nicht Deinen Post, der in einem Thread war, sondern nur den letzten Post bzw. Thread. Nicht gut, wenn man sich auf etwas beziehen möchte

    Daher gehe ich meist aus der e-mail über den button KOMMENTARE auf die Seite des jeweiligen Themas. Und suche den entsprechenden Thread. Manchmal gibt es dort dann aber keinen REPLY Button mehr (?). Dann muß ich mit meinem Kommentar zwangsläufig wieder einen neuen Thread aufmachen.

    Generell wäre es sicherlich hilfreich, wenn es für „neue Studenten“ eine kurze Einführung in Struktur der Kapitel und Tips zur Interaktion mit anderen Teilnehmern gäbe. z.B. wie antworten, wann neuen Thread aufmachen. In welchem Format sollen Anlagen hochgeladen werden (hat sich z.B. herausgestellt, dass es nicht MS Formate sondern ODS sein sollte, damit Alles es öffnen können) etc.

    • Martin

      ja, volle zustimmung. (vielen dank für deine hinweise: sehr wertvoll! und dank btw auch für deine inhaltlichen fragen-kommentare: so sind das ideale beiträge, die die anderen in bewegung bringen.)

  15. Helga

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Quadrat-plus-quadrat.xlsx“]Quadrat-plus-quadrat.xlsx[/a]
    Einen schönen guten Abend an alle
    ich habe eine Frage, ob ich mit meinen Gedanken richtig liege.
    Wenn ich mit geraden Zahlen arbeite, und von einer Kathetenlänge ausgehe
    die ungerade sein muss, dann kann ich auf die Länge der Hypotenuse und die Länge
    der zweiten Kathete schließen. D.h. ich benötige also nur „EINE“ Zahl um den Rest auszurechnen. (Siehe Excel-Tabellenblatt); habe dann aber auch nur eine begrenzte Möglichkeit smarte Quadrate zu ermitteln.

  16. Helga

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/Quadrat-plus-quadrat-II.xls“]Quadrat-plus-quadrat-II.xls[/a]
    Hallo Anita
    es handelt sich um Excel 2007, der neue Anhang ist Excel 97-2003 vielleicht kannst du die Datei mit der älteren Version öffnen.

  17. Josef

    Unterhaltung heute gestartet
    15:41

    Hi Leute, heute Nacht auf der Rückfahrt von Hamburg bin ich darauf gekommen. die Geschwisterquadratzahlen benennen sich selbst zu Pythagoras Trippeln. und zwar durch jede ungerade Zahl im Quadrat größer oder gleich 5 . Man quadriert die ungerade Zahl(egal welcher Größe) zieht eins ab und teilt durch zwei dies ist nun a^2 addiert b^2bzw.(x) hinzu und erhält c^2

    für alle (n+1)^2 ≥ 5 gilt (n+1)^2 ist x -> (x-1):2= a^2 dann gilt a^2+(n+1)^2=c^2 ; durch folgende Beispielübungen bin ich darauf gekommen.

    (5^2) 12^2+ (12+13)=13^2

    (7^2) 24^2+(24+25)=25^2

    (9^2) 40^2+(40+41)=41^2

    (11^2) 60^2+(60+61)=61^2

    (13^2) 84^2+(84+85)=85^2 …

    (17^2) 144^2+(144+145)=145^2

    (19^2) 180^2+(180+181)=181^2 …

    (27^2) 364^2(364+365)=365^5

    Ich glaube dies könnte eine Lösung für das generieren von Pythagoras Trippeln sein. Denn es gibt unendlich viele ungerade Zahlen über bzw. ab 5.

        • Anita

          Ich habe den Beitrag von Josef als einzigen Beitrag in meinem blog erhalten. Aber mein blog hat damit gar nichts zu tun. Das ich bei einem neuen Kommentar ein mail erhalte ist normal, hab ich auch von josef erhalten, aber gleichzeitig ist der Beitrag auch als Kommentar in meinem blog.
          very funy 🙂

          • cspannagel Post author

            Ja, die Diskussion hier in wordpress (das ist das System, auf dem das Testkapitel läuft). Das ist ein wenig durcheinander und unstrukturiert in diesem System. Auf iversity wird es geordneter ablaufen, so zumindest ist der Plan. 🙂

    • Robin10

      Hallo Josef!
      Lies dir doch bitte (noch?) mal meinen letzten Post durch 🙂
      Insbesondere das Bild und den Teil für ungerade a (bzw. in deinem Fall b).
      Stichwort: Triviales d für ungerade a bzw. b.
      Fällt dir was auf? 😉

  18. Josef

    Hallo Robin!
    Da ich kein Mathematiker bin, und zumeist nur im Kopf analysiere, rechne, abwäge,
    verwende ich Zahlen. Ich schreibe mir eigentlich nur etwas auf, um das Bild zu speichern, wenn es nicht gelingt eines visuell zu gestalten. Mathematiker brauchen eine gemeinsame Sprache um Dinge diskutieren zu können. Menschen, wie ich, die sich für Mathe interessieren, werden oft von zuviel Buchstabensalat abgeschreckt. Laien wie mir, denen das mathematische Rüstzeug fehlt, klicken dann oft sofort weg. Nach dem Motto das verstehe ich ja doch nicht. Bei meinen Überlegungen habe ich es genau umgekehrt gemacht, wie ich es aufgeschrieben habe. Erst die Zahlen, die mathematische Formulierung habe ich mir bei Christians Vorlesungen abgeschaut. Nicht sehr elegant, da mir die Zeichensätze fehlen. Jedoch ist das was ich so fornuliert habe, eventuell auch so richtig, dann prima.
    Wenn nicht habe ich wieder etwas dazu gelernt. Rainer Griese und Christian Spannagel
    verstehe ich sofort. Den einen wegen seiner wunderbaren Zeichnungen, den anderen wegen seinen klasse Vorlesungen. Bei Deinen Kommentaren, die wahrscheinlich für Mathematiker gut definiert sind, bin ich eigentlich nur vorbeigescrollt, wahrscheinlich aus Angst sie nicht zu verstehen. Diese Woche habe ich etwas mehr Zeit, dann werde ich mich da durcharbeiten.

    • cspannagel Post author

      @Josef Vielen Dank für deinen Beitrag! Er macht folgendes deutlich: Wir wollen sowohl dich (Anpacker) als auch Robin (Formalisierer) mit dem MOOC „bedienen“. Es ist einerseits ganz toll, dass Robin formale Beweise entwickelt, und andererseits ist es auch toll, wenn du dich auf der konkreten Ebene (z.B. mit Zahlbeispielen) tummelst. Hier im Blog ist allerdings der Nachteil, dass die Diskussionen „am Stück“ stattfinden (und man dann einen Berg von unterschiedlichsten Kommentaren vor sich hat, in dem sich alle möglichen Ebenen vermischen). Auf iversity im MOOC selbst werden die Diskussionen separat stattfinden (das zumindest ist der Plan).

  19. Irene

    „Hier im Blog ist allerdings der Nachteil, dass die Diskussionen “am Stück” stattfinden (und man dann einen Berg von unterschiedlichsten Kommentaren vor sich hat, in dem sich alle möglichen Ebenen vermischen).“

    Bin mir nicht sicher, ob unterschiedliche Steams für Kiebitze, Anpacker und Formalisierter wirklich wünschenswert sind. Denn: Diversity is key!

    Es geht mir wie Josef, ich muss mir Problem und Lösung irgendwie plastisch visualisieren, haptisch begreifbar machen und mich per Excell annähern. Gibt es ,eigentlich auch praktische und theoretische Mathematiker?

    Als ich Robins erste Formeln sah, dachte ich „Boah, das verstehe ich nie“. Aber mit der Zeit habe ich mich etwas reindenken können. Und lerne, dass es einfach nur eine Konvention ist, bestimmt Sachverhalte zu beschreiben. (Vielleicht gibt es von Robin mal ein Tutorial warum d „d“ ist und nicht z.B „k“. Und was mit „trivialem“ diskretem d gemeint ist?)

    Was ich in diesem Probekapitel der iversity toll finde ist, dass ich hier als mathematischer Laie, als Kiebitz oder Anpacker, mit Formulierern wie Robin diskutieren kann. Mit Leuten, die mir die „Furcht“ vor den Formeln nehmen. Ohne Robins Posts hätte ich mich nie an Formeln herangewagt, jetzt bin ich neugierig und möchte mehr erfahren!

    Hätte es hier separate Diskusionsforen gegeben, hätte ich womöglich Robin nie kennen gelernt und hätte von ihm/ihr nicht so viel lernen können.

  20. cspannagel Post author

    @Irene Nein, du hast natürlich recht: Kiebitze, Anpacker und Formalisierer können natürlich voneinander lernen, und niemand wird „separiert“. Die Teilnehmer können sich selbst entscheiden, mit wem sie sich unterhalten wollen. 😉 Ich kann mir aber sehr gut vorstellen, dass es Teilnehmer gibt, die gar nichts mit Formeln zu tun haben wollen. Es ist doch gut vorstellbar, dass diese Teilnehmer durch eine Diskussion wie eure eher abgeschreckt werden. Dir persönlich hat die Diskussion ein Stück weiter geholfen, aber wie ist es mit all denjenigen, die sich jetzt im Nachhinein die Diskussion ansehen. Was haben sie davon? Werden sie dadurch inspiriert, sich auch damit zu befassen, oder eher abgehalten? Bräuchten sie nicht eine eigene (!) Diskussion in ähnlicher Weise?

    Insofern: eure Diskussion ist total gut und ein Vorzeigebeispiel, sie nützt aber vermutlich im Wesentlichen auch eben nur euch (was ja völlig legitim ist). Anderen Personen müssen ihre eigenen Diskussionen ermöglicht werden, und dann eben wie gewünscht in „gemischten“ Gruppen, „Anpacker für sich alleine“ und wie auch immer sich die Diskussionsgruppen „bottom up“ ergeben. Und genau diese „anderen“ sollten nicht durch bereits existierende Diskussionen abgeschreckt werden, selbst vorne einzusteigen. Insofern meinte ich, ist die Diskussionstruktur hier im Blog ungünstig, und in iversity wird es parallele Diskussionsstränge geben, so wie es aussieht.

    • Irene

      Keine Frage – Gleichberechtigung bedeutet, dass jeder Teilnehmer die Möglichkeit hat, zu seiner individuellen Lernzeit, eine neue Diskussion zu starten, bzw. einer Arbeitsgruppe beizutreten, die gerade erst gestartet ist, Das ist die Voraussetzung dafür, dass viele Leute mit Spass am MOOC teilnehmen können.
      Wenn am Montag Morgen die Aufgaben für die Woche gepostet werden, sollten Teilnehmer auch am darauf folgenden Sonntag Abend noch die Möglichkeit haben eine Arbeitsgruppe zu gründen um die Aufgaben für den nächsten Tag zu diskutieren und zu lösen.
      Daher auch meine Anregung anzuzeigen, wer von den anderen Kursteilnehmern aktuell online ist. Jeder Teilnehmer sollte seinen aktuellen Status selbst definieren können. z.B. „Aufgaben diese Woche schon erledigt“, „Suche Partner heute Lernpartner für Stoff dieser Woche“ „Suche Tutor für Stoff der letzten Woche“, „Biete Tutoring für Algebra“ etc. Wer sich zu einem beliebigen Zeitpunkt einloggt kann nach „online“ und „aktuelem Status“ filtern und findet so schnell geeignete Lernpartner, Arbeitsgruppen oder Tutoren.

      Ich hatte es tatsächlich – fälschlicherweise – so verstanden, dass getrennte Diskussions-Streams für Kiebitze, Anpacker und Formulierer angedacht waren. Das hätte ich schade gefunden.

      • cspannagel Post author

        Liebe Irene, die Idee mit der Statusangabe und Suche ist super. Wir werden den MOOC auf der Plattform iversity machen, und ich weiß nicht, inwieweit solche (oder ähnliche) Funktionen dann dort gegeben sein werden. Ich gebe die Tipps aber immer an iversity weiter. Ganz sicher werden nicht alle Wünsche umsetzbar sein, aber vielleicht finden wir ja dann alternative Möglichkeiten und Wege….

  21. Michael Salewski

    Mein Denkansatz für die höchstwahrscheinlich begründete Annahme (noch nicht den Beweis, soweit bin ich nicht :P) der Unendlichkeit dieser Zahlen ist folgender:
    Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist immer Wurzel aus q*2+1, wobei q die kleinere Quadratzahl ist. Aufgrund dieser Formel (*2+1) muss der Abstand immer ungerade sein. (Er erhöht sich bei jedem n, wobei n die Qurzel aus der Quadratzahl ist, um 2). Soviel dürfte an sich klar sein. Aber da dadurch logischerweise jede zweite Quadratzahl ungerade ist, müssen diese ungeraden Quadratzahlen auch alle irgendwo in den Abständen zwischen den aufeinanderfolgenden Quadratzahlen auftauchen, da die Menge der ungeraden Quadratzahlen eine Teilmenge der ungeraden natürlichen Zahlen ist, die vollständig in der Folge der Abstände (Oder Differenzen, wenn man sie so nennen will) vorhanden ist. 0²=0 |+1 <ungerade Quadratzahl
    1²=1 |+3
    2²=4 |+5
    3²=9 |+7
    4²=16 |+9 <ungerade Quadratzahl
    5²=25 […]

    Und da die Annahme, dass es unendlich Zahlen gibt, als Bewiesen gilt, kann man als bewiesen hinnehmen, dass es unendlich Quadratzahlen gibt (jede natürliche Zahl hat eine Quadratzahl). Da das Muster sich nach dem Prinzip der ungeraden Abstände fortsetzt (Habe dafür keinen "Beweis" parat, habe es aber zu meiner Schulzeit in der 7./8. Klasse bis zum Exzess im Selbststudium zum Zeitvertreib mit Pen&Paper ausgetestet), sehe ich für mich die Annahme, dass es unendlich viele solcher "Partnerquadrate" gibt, als de facto bewiesen, auch, wenn es hier formal noch nicht steht, da müsste ich noch etwas länger dran rumdoktorn. 😉
    Ich weiß, dadurch ist nicht das gesamte Spektrum der Partnerquadrate abgedeckt, sondern nur ein Teil. Aber es ist ein Muster, aus dem sich die Partnerquadrate generieren lassen, auf die dies zutrifft. Dies in einen Programmcode umzusetzen und den Rechner die Teile ausspucken lassen sollte kein Problem sein, denk ich mal, da das ja noch ein recht einfaches Prinzip ist.
    Um z.B. 6²+8², was oben erwähnt wurde, ausspucken zu können, bräuchte man einen anderen Algorithmus und Denkansatz, aber mit meinem Ansatz bin ich denke ich doch mal auf der sicheren Seite, wenn ich sage, dass ein Pseudobeweis erbracht wurde, dass die Aussage: „Es gibt unendlich viele Partnerquadrate.“ wahr ist. 😉

    MfG, Erigalus von den Sinnen (formal: Michael Salewski)

    • Michael Salewski

      Nachtrag: Ja, das mit dem Erweitern der Zahlen ist klar, soweit hatte ich eben nur noch nicht gedacht. Ich hatte die restlichen Beiträge hier auch nur eher überflogen und bin eben erst, nachdem ich meinen Beitrag geschrieben habe, tiefer ins Detail gegangen, von daher hat sich die Frage nach 6²+8²=10² erledigt. Die Basis dafür hatte ich ja schon mittels 3²+4²=5² gelegt, daran hatte ich eben überhaupt nicht gedacht. Dennoch, selbst wenn man die in „meinem“ Verfahren mit den Abständen ermittelten Tripel alle „unendlich oft“ erweitert, gibt es ja noch ein paar Partner, die damit nicht abgedeckt sind, kann ich mir vorstellen. Gehen wir also nach dem Ausschlussverfahren durch: Mindestens eine ungerade Zahl (also auch ein ungerades Quadrat, da ungerade*ungerade=ungerade) muss bei dem Tripel dabei sein, da es sonst nicht das optimal gekürzte und damit Ausgangspunkt der Berechnung sein kann (da dann alles teilbar durch 2 wäre). Also müsste man schauen, ob es sein kann, dass zwei gekürzte ungerade Quadratzahlen addiert eine gerade Quadratzahl ergeben. Denn falls dem nicht so sein sollte, müsste man mit meinem Algorithmus jetzt alle Tripel finden können (zumindest in der Theorie, in der Praxis scheitert es natürlich an der Unendlichkeit… :P), da man ja die ungeraden Quadratzahlen als Ausgangspunkt nimmt, schaut, wo sie in den Differenzen zwischen den Quadratzahlen auftauchen und hat damit die Basistripel, die man dann nur noch mit 2, 3, 4 etc. erhöhen muss, um die erhöhten Tripel ebenfalls zu erfassen.
      Doch hier bin ich gerade in einer kleinen gedanklichen Sackgasse… Kann man irgendwie ausschließen, ob es gekürzte Tripel gibt, für die gilt: ungerade + ungerade = gerade?
      Wäre nett, wenn mir da evtl. jemand auf die Sprünge helfen könnte, aber vielleicht fällt mir ja auch gleich noch eine plausible Erklärung dazu ein, wenn ich noch ein wenig hier in den Kommentaren rumwühle… 😉
      MfG, Erigalus von den Sinnen (formell: Michael Salewski)

      • Michael Salewski

        Allerdings hänge ich immernoch ein wenig an der Frage, ob es gekürzte Tripel gibt, die sich aus zwei ungeraden Quadratsummen zusammensetzen… Werd da wohl nachher mal der einfachheit halber ein Progrämmchen zu schreiben, um zu schauen, ob es in einem bestimmten Rahmen (z.B. unter einer Milliarde) solche Tripel gibt, und falls nicht, das dann als Basisannahme für die Überlegung benutzen, ob es überhaupt keine gibt, und vor allem warum nicht… Sobald ich da näheres habe, werd‘ ich’s hier schreiben, aber natürlich kann jede/r fleißig mitdenken. Sobald ich hierfür eine Erklärung (Oder halt ein Gegenbeispiel) habe, werde ich mal versuchen, das alles in einem (kurzen) formalen oder anderen stichhaltigen Beweis zu formulieren. Ich denk mal, dass ich das dann hinbekommen sollte, habe schon viele von Christians Videos dazu gesehen. 😉
        MfG, Eri

        • Robin10

          Hallo Michael!

          Zu deiner oben aufgeführten Liste mit den Quadratenzahlen und den ungeraden Abständen:
          Es gehört offensichtlich zu jeder Quadratzahl eine ungerade Zahl.
          Wir nennen die Quadratzahl a². Diese hängt jetzt mit dem ungeraden Summanden, den wir b² nennen, so zusammen: b²=2a+1

          Insgesamt also: a²+2a+1 ergibt unsere neue Quadratzahl und die ist dann nach der binomischen Formel (a+1)².

          Das können wir uns auch aus unseren bisherigen Ergebnissen, von denen ich mal behaupte, dass wir damit alle smarten Quadrate erfassen können, herleiten:

          Wir hatten allgemein gesagt, dass a²+b²=(a+d)²
          Dann gilt: a=((b²/d)-d)/2. Du betrachtest hier den Fall, dass d=1.
          Wir erhalten daraus dann, dass b²=2a+1 und das ist das, was du oben aufgelistet hast.

          Zum Punkt, ob der Spaß auch mit ungeraden smarten Quadraten funktioniert:
          Wir nehmen an, dass a=2m+1 und b=2n+1.
          Nach a²+b²=c² folgt nach etwas Auflösen:
          4(m²+m+n²+n)+2=c²
          Wir haben also die Form:
          4y+2=c²=2(2y+1)
          c² ist also gerade (was ja vorher schon klar war…), demnach auch c.
          Wir können c² also auch darstellen als (2p)²
          Nach obiger Bedingung gilt: c²/2=2y+1=(2p)²/2=2p²
          c²/2 ist also ebenfalls gerade. Dies widerspricht aber der Annahme, dass a und b ungerade Zahlen sind, denn 2y+1 ist (mit y natürl. Zahl) stets ungerade.
          Demnach gibt es kein Tripel mit a und b ungerade.

    • Stefanie

      Kleine Anmerkung zu den Abständen der Quadratzahlen:

      Wenn man zwei ungerade Zahlen multipliziert, ist das Ergebnis auch immer eine ungerade Zahl.
      Analog, wenn man zwei gerade Zahlen multipliziert, dann ist auch das Ergebnis wieder eine gerade Zahl.
      Da sich gerade und ungerade Zahlen abwechseln, müssen auch die Quadratzahlen imme abwechselnd gerade und ungerade sein.
      Die Differenz zwischen einer geraden und einer ungeraden Zahl muss wiederum immer ungerade sein, so das man daraus schon schliessen kann, das die Abstände zwischen den Quadratzahlen auch bis ins unendliche *immer* ungerade sind.

  22. Simon Rumswinkel

    Hi,
    ich steig grad neu ein und hab nicht alle beiträge gelesen / nachvollzogen, aber viele. meine überlegung ist, dass eine Quadratzahl die beiden anderen des tripels festlegt. ob das stimmt, bin ich mir noch nicht sicher. wie schon viel diskuttiert habe auch ich die quadratzahlen in gerade und ungerade aufgeteilt:
    für ungerade b (als die kleinste zahl des jeweiligen tripels):
    a^2 + b^2 = (a+1)^2
    a = b^2/2 -0,5
    für gerade b:
    a^2 + b^2 = (a+2)^2
    da sich der abstand zweier aufeinander folgender quadratzahlen a^2 und c^2 aus der summen der beiden basen a + c (= a+a+1) ergibt, folgt für die geraden b:
    b^2 = 4a + 4 (= a + (a+1) + (a+1) + ((a+1)+1))
    bzw. a = (b^2-4)/4
    somit kann man jeder Quadratzahl zwei andere für ein vollständiges tripel zuordnen. es gibt damit automatisch unendlich viele tripel, wie Eri schon auf anderem weg gezeigt hat. die frage, ob damit alle tripel erfasst sind, ist damit allerdings noch nicht beantwortet. dazu wäre zu beweisen, dass jede quadratzahl immer nur den abstand zweier bestimmter quadratzahlen zueinander beschreibt und kein weiteres paar mit dem gleichen abstand existiert, das müsste aber vielleicht mit dem zusammenhang a^2=b^2+b+a zu beweisen sein, ich denk nochmal drüber nach…
    cheers simon

  23. Martin

    hier also das ergebnis des mathe-lurkers, nach 70 min herumprobieren (die schon spaß gemacht haben):

    Wenn also für ein Quadrat über a jeweils ein b gesucht wird, für das gilt:
    b x b = 2 a + 1
    dann gehe ich beim Suchen besser von den b aus:

    [1] Ein smartes Q findet sich zu allen b x b Quadraten der Reihe 3, 5, 7, 9, 11, 13 …
    *Lösungsweg dazu unten

    [2] Das passende a dazu finde ich durch:
    a = [(b x b) – 1] : 2
    Also für b = 13 (quadriert 169)
    a = (169 – 1) : 2 = 84

    [3] Weil ich das mit allen Zahlen der Reihe oben durchspielen kann, und die unendlich ist, müsste es auch unendlich viele smarte Quadrate geben.

    * Auf [1] zu kommen, war ein bisschen kompliziert. Ich habe mir alle Quadrate systematisch angesehen, die man durch Anlegen zu einem bestehenden Quadrat erzeugen kann, also mit 2a + 1, und habe festgestellt, dass die jeweils anzulegenden Elemente für alle ganzzahlige Q-Potenzen selbst eine Reihe bilden: 5, 7, 9, 11 usw. (entsprechend den quadrierten a = 2, 3, 4, …)
    Jetzt muss ich also in dieser Reihe eine Zahl finden, die selbst eine Q-Potenz ist. Die erste, für die das funktioniert, ist 9, dann 25, dann kommt 49 usw. Die dazugehörigen b sind 3, 5, 7 usw. Wenn ich also diese Reihe fortführe (mit b = 9, 11, 13 usw.), muss es dazu immer ein passendes a geben.
    Jetzt kann ich also für alle so findbaren b-Zahlen (alle ungeraden Zahlen ab 3) jeweils die Q-Potenz bilden und mit der (2a + 1) Formel rückwärts folgern, was das dazu passende a ist.

  24. Ulrich

    [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/dritte_binomische_formel.doc“]dritte_binomische_formel.doc[/a]
    graphische Darstellung des dritten binomischen Lehrsatzes

  25. Anita

    @ Mila Stimmt geht. Aber das taugt nichts, man müsste für jedes Symbol wieder von Neuem das ganze Prozedere durchführen. Dazu fehlt wohl jedem die Zeit. Auch in OpenOffice gehts. Ist aber doch zu umständlich.

  26. SkeletonKey

    und das b, dass ich zum a addiere bildet eine Reihe, die jeweis aus den Differenzen der Quadrate von a besteht, wenn a natürliche Zahlen 1 bis unendlich sind, angefangen bei 1

  27. SkeletonKey

    was im excel sheet auch deutlich wird: b² ist immer 2xa+1

    b²=2a+1

    also a²+(2a+1) = (a+1)²

    das funktioniert aber offensichtlich nicht für jedes a!! Die a´s bei denen es bei meinem excel sheet (habe die quadrate von 1 bis 400 gebildet) bilden die reihe 4, 12, 24, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, usw.

    wie kann man diese reihe formell darstellen?

  28. SkeletonKey

    achso, die reihe ist ja erst mal egal, wenn ich sage dass b²=2a+1 ist, kann ich diese gleichung ja einfach umstellen und somit einen ausdruck für a finden!

    a= (b²-1) / 2

    Also hab ich jetzt alle Bedingungen: Ich kann zwei quadrate zu einem neuen quadrat addieren also a²+b2=c² wenn folgendes gilt:
    c= (a+1)²
    b²= 2a+1
    a= (b²-1)/2

    auf die smarten quadrate, die ich mit excel gefunden habe, passt diese regel!!

    ist die aufgabe damit gelöst? war es überhaupt legitim excel zu nutzen?

    ps: sorry für alle mathematishcen formfehler, vor allem in meiner excel…

  29. SkeletonKey

    bleibt noch die frage, wie viele smarte quadrate es gibt.
    Aus dem bauch raus sollte man meinen unendlich viele. allerdings zeigt excel, das die häufigkeit der smarten quadrate mit zunehmendem wert für a abnimmt (dieser satz ist nicht korrekt ausgedrückt, aber vielleicht versteht ihr was ich meine). ganz plump gesagt, mit zunehmendem a muss ich immer länger scrollen um auf ein smartes quadrat zu stoßen. wenn ich das jetzt unedlich lang machen würde, würde der abstand bis zum nächsten smarten quadrat auch unendlich lang werden???????

    • cspannagel Post author

      Klar ist es legitim Excel zu benutzen. Natürlich kann man sich dadurch nur endlich viele Fälle ansehen…will man allgemeine Aussagen haben, braucht man Beweise… insofern gebe ich den Ball weiter: wer kann mit SkeletonKey hier gemeinsam weiter arbeiten?

    • Simon Rumswinkel

      mit dieser methode bekommt man unendlich viele smarte Quadrate, abe es sind noch nicht alle (ich hab früher schon mal eine Formel für noch andere beschrieben: 04.09.2013).
      würde mich freuen, wenn wir gemeinsam zeigen könnten, dass man mit der von mir vorgeschlagenen variante alle SQs erhalten kann. leider bin ich damit noch nicht weiter gekommen…

  30. Severin

    Eigentlich beweist folgende Formel, dass es unendlich viele Quadrate gibt:

    (a^2 * m) + (b^2 * m) = (c^2 * m) –> a^2 + b^2 = c^2
    m e N*

    4^2 + 3^2 = 5^2 (Faktor 1)
    8^2 + 6^2 = 10^2 (Faktor 2)
    12^2 + 9^2 = 15^2 (Faktor 3)
    ….

    Natürlich können damit nicht alle Quadrate berechnet werden. Aber es zeigt zumindest, dass man beliebig viele Quadrate bilden kann.

    @Simon Rumswinkel: Deine Formel für die ungeraden Zahlen scheint für alle Primzahlen zu stimmen. Bei b=9 stimmt die Rechnung zwar, gibt aber nicht den kleinst möglich Wert zurück. Es kommt für a=40. Allerdings stimmt auch: 12^2 + 9^2 = 15^2 (was wiederum 4 + 3 = 5 * Faktor 3 ist)
    Deine Formel, angewandt auf die Primzahlen, und meine Idee mit den Faktoren decken schon ziemlich viele Möglichkeiten ab. Allerdings gibt es noch Ausreißer wie:
    21 + 20 = 29
    35 + 12 = 37
    99 + 20 = 101
    um ein paar Beispiele zu nennen. Ich habe so das ungute Gefühl, dass es gar keine allgemeine Formel gibt. Die Frage war auch, wie viele Quadrate man bilden kann. Und es wurde ja scheinbar (ich habe mir nicht alle Beiträge durchgelesen) öfters bewiesen, dass es unendlich viele sind.

    • Simon Rumswinkel

      Super, danke!
      damit ist meine Theorie von der Festlegung des Tripels durch eine (die kleinste) QZ widerlegt. das heißt vermutlich auch, dass es keine Formel gibt, mit der man **alle** smarten Quadrate aufspüren kann, weil man aus einer einzelnen Zahl nicht eindeutig alle unbekannten ausrechnen kann. oder man müsste in anderen Dimensionen nach Lösungen für das Problem suchen, aber da hörts für mich dann langsam mit der Vorstellungskraft auf…

  31. Stefanie

    Also ich bin auch drauf gekommen das, wenn man sagt das „Basisquadrat“ sei a², und man möchte ein Quadrat b² so drum rum legen, das es genau aufgeht, also sowohl a als auch b positive ganze Zahlen sind, macht es Sinn, von b auszugehen.
    Und für die Form am Ende des Videos ergibt sich das für alle ungeraden b’s größer als 1 ein passendes Quadrat a existiert wobei gilt b²=1+2a
    Es war ja aber nicht explizit diese Form vorgegeben, man könnte das zweite Quadrat ja auch so umlegen, das es nicht nur 2, sondern alle 4 Seiten des Basisquadrates umfasst. Dafür findet sich dann die Beziehung b²=4a+4, und diese ergibt positive ganze Zahlen für alle geraden b größer als 2.

    Damit kann man für jedes Quadrat b > 2 ein passendes Quadrat a finden, an das man b passend anlegen kann.
    Für ungerade b ist a = (b²-1) /2
    und für gerade b ist a = (b² – 4) /4

    Oder liege ich damit falsch?

    • Stefanie

      [a href=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/DSC_0150.jpg“][img src=“http://testkapitel.mathemooc.de/wp-content/uploads/2013/07/DSC_0150-200×150.jpg“][/a]
      PS:

    • cspannagel Post author

      @Stefanie Das sind tolle Überlegungen! Du hast tatsächlich Formeln für zwei verschiedene Fälle gefunden. Jetzt bleibt nur die Frage offen: findest du damit alle möglichen smarten Quadrate? 🙂

      • Stefanie

        Das ist eine gute Frage, und bei näherer Überlegung komme ich zu der Antwort: Nein.
        Man könnte ja nicht nur eine, sondern mehrere Reihen um das erste Quadrat anordnen. Mit etwas gefiddel kam ich darauf das man das theoretisch für beliebig viele zusätzliche Reihen machen kann. Es ergibt sich dann generell die Beziehung
        a = ( b² – 4 x r² ) / ( 4 x r ), wobei r die Anzahl zusätzlicher Reihen ist. Damit ist mein voriges Beispiel nur der Sonderfall r=1.
        Ein erster „Testlauf“ mit b=8 und r=2 ergab auch prompt eine ganze Zahl a=6.
        Das könnte eventuell auch noch für andere gerade Zahlen für b klappen, aber mit 10 und 12 klappt es jedenfalls nicht. Für ungerade b’s kann es auch nicht passen, weil damit der Zähler im Bruch zwangsläufig ungerade werden würde, und dann bekommt man keine ganzzahligen Ergebnisse mehr.

        Man kann auch das erste Beispiel, bei dem das Quadrat a² an 2 Seiten erweitert wird verallgemeinern für mehrere Reihen und bekommt dann
        b² = 2*a*r+r²
        Das ergibt für a=8 ein b²=36, würde also auch aufgehen. Wenn man es aber nach a umstellt, dann landet die 2 unter dem Bruchstrich, und es klappt wieder nur für gerade Werte von b. Wieviele das sind kann ich nicht sagen.

        Mit diesen zwei Verallgemeinerungen sind aber (imho) alle möglichen Kombinationen abgedeckt. Denn damit wieder ein Quadrat rauskommt, muss man entweder 2 oder 4 Seiten jeweils erweitern, damit die Symetrie erhalten bleibt. Man könnte jetzt noch die Teile kreuzförmig im inneren von a² anordnen, aber das ist mathematisch das gleiche wie an 2 Seiten anzulegen.

        Deswegen postuliere ich jetzt mal ganz frech: Mit den hier genannten verallgemeinerten Formeln lässt sich für *jedes* b>2 mindestens ein passendes smartes Quadrat a² finden, und damit sind alle denkbaren smarten Quadrate abgedeckt.

  32. Irene

    Hallo Stephanie,

    schön, dass Du hier her zum Mathe Mooc gefunden hast.

    Wir haben in den letzten Wochen viele interesante Aufgaben bearbeitet. Du hast noch genügend Zeit aufzuholen.

    Ich würde mich freuen, wenn Du auch andere Aufgaben bearbeiten würdest, dann können wir uns darüber austauschen.

    Frohe Weihnachten!

    Iren

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